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第一讲 行列式
一、内容提要
（一）n阶行列式的定义
（二）行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等，即；
2．交换行列式的两行（列），行列式变号；
3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；
4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；
5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；
6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即
，
则
7．将行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开
1．余子式与代数余子式
（1）余子式的定义
去掉n阶行列式D中元素所在的第i行和第j列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素的余子式，记为
（2）代数余子式的定义
的代数余子式的记为
2．n阶行列式D依行（列）展开
（1）按行展开公式
（2）按列展开公式
（四）范德蒙行列式
（注意其转置行列式）
（五）分块行列式
若都是方阵（不必同阶）则
解：由于前n-1行都只有一个元素不为0，n只含一项：b1b2…bn，且符号为从而。
例2 计算下列行列式
（1）
解（1）：
（2）
例3 计算下列n阶行列式
解
说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：
例4 计算n阶行列式
解：
例5 计算行列式。
解：
例6 设行列式
求第四行各元素的余子式之和的值。
解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式
的值
因为将D1接第四行展开得
所以计算
从而D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。
说明：若求D中第四行各元素代数余子式之和呢？
例7 计算n阶行列式
解：将行列式按第一列展开得
说明：请注意这种形式的行列式！
2. 含参数行列式的计算
例8 计算行列式。
解：
例9 计算三阶行列式。
解：
3．抽象行列式的计算
例10 设A, B均为n阶方阵，
解
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