第5节直线-平面垂直关系的判定与性质.docVIP

第5节 直线、平面垂直关系的判定与性质 一、直线与平面垂直 1.直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ?l⊥α 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ?a∥b 练习 1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　A　) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:l⊥α?l⊥m,l⊥n,反之因为m、n不一定相交, 故l⊥m且l⊥n不一定推出l⊥α. 故选A. 2.若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是(　B　) (A)若m⊥α,n⊥α,则m⊥n (B)若m∥n,m⊥α,则n⊥α (C)若m⊥β,α⊥β,则m⊥α (D)若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α 解析:由m⊥α,n⊥α可得m∥n,故A错; B.平行线中一条垂直平面,另一条必垂直平面,所以正确; C中,由m⊥β,α⊥β,则有m∥α或m?α,故C错. D选项n与α的关系不确定, 故选B. 3.命题“如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直”是真命题吗?其逆命题呢? (不是、是) 二、直线与平面所成的角 1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角. 2.线面角θ的范围: 质疑探究:(1)直线与平面所成的角为α,与该平面内的直线所成的角为β,则α与β的关系如何? (2)直线与平面平行(垂直)时所成角等于多少? 提示:(1)α≤β. (2)0. 三、二面角、平面与平面垂直 1.二面角 (1)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ. (2)二面角的平面角 在二面角αlβ的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. 2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (2)平面与平面垂直的判定定理. 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ?α⊥β (3)平面与平面垂直的性质定理. 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ?l⊥α 练习 1.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,则图中互相垂直的平面共有(　B　) (A)4对 (B)3对 (C)2对 (D)1对 解析:∵PA⊥平面ABC, ∴平面PAB⊥平面ABC, 平面PAC⊥平面ABC, 又AB是☉O的直径, ∴BC⊥AC, 又PA⊥BC,PA∩AC=A, ∴BC⊥平面PAC, 故平面PBC⊥平面PAC,共3对, 故选B. 2.如果一条直线和一个平面垂直,那么经过这条直线的所有平面都和这个平面垂直吗? (垂直) 3.如果两个平面垂直,那么其中一个平面内的任何一条直线都和另一个平面垂直吗? (不一定) 4.如果两个平面都和第三个平面垂直,那么这两个平面平行吗? (不一定,可能平行也可能相交) 一．与垂直相关命题的判定 【例1】 m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.下列命题中, ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若m⊥α,n⊥α,则m⊥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ. 正确的命题是(　　) (A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④ 解析:①显然正确;对于②,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β也可能相交,故②错误;对于③,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故③错误;④显然正确.故选C. 变式训练11:给出下列命题: (1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行; (2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α; (3)已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件; (4)a,b是两条异面直线,P为空间一点, 过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行. 其中正确命题的个数是(　　) (A)0 (B)1 (C)