第4讲配方法和换元法应用.docVIP

第5讲 配方法和换元法的应用 内容提要 换元法配方法是种常用的数学解题方法配方通常说的换元法 ,是把一个未知的代数式子用一个字母来表示 ,从而使原问题得到简化 .但有时 ,也需要把问题中的某个确定的常值用字母来代替 ,使问题获得巧妙的解答所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。【】x2+2x－2进行配方，其结果为 。 2．方程x2+y2+4x－2y+5=0的解是 。 3．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为 。 4.分解因式:. 5.用换元法解高次方程.解方程:. 6.求下列代数式的最大或最小值： 　　　①　x2+5x+1； 　　②　－2x2－6x+1 . ★★7．实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是 . ★★8. 已知且，求证： 〖例题分析〗 例1. 已知实数，且满足，.则的值为（ ）. （A）23 （B） （C） （D） 例2．用换元法解分式方程和无理方程 (1)x4+(x－4)4=626. (2)； (3). 例3.解方程组: 例4．已知a，b，c都是整数，且，，求的值． 〖思维提升〗 【B】组题 1 的值等于 。 （A）5-4， （B）4-1， （C）5， （D）1 2.计算: . 3．若，，，则的最小值为 ． 4．已知有理数x，y，z满足，求(x—yz)2的值． 5．若多项式加上一个单项式后，能成为一个含有的完全平方式，求所有满足条件的单项式． 6．已知为实数，且满足，，则的最小值为（A）（B）0（C）5（D）1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6 2．若的最大值为a，最小值为b，则的值为 . . ． 3、已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.　 4、已知：x= . 求： 答案 1．　　2。　　3。M－N＝，M＞N 4．设,则原式= = = = = 5原方程可化为: . 即.①设,则方程①化为: .解得,. 当时, .② 解方程②,得. 当时, .③, 方程③无实数根. 因此,原方程的根为. 6．解：①x2+5x+1＝x2+2×x+－+1 ＝（x+）2－. ∵（x+）2≥0，其中0是最小值. 即当x=时，x2+5x+1有最小值－. ②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x-） =－2(x2+2×x+－) ＝－2（x+）2+ ∵－2（x+）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值. 7：解：∵ ，， ∴ x、y是关于t的一元二次方程 的两实根.∵ ，即，.∴ ，当时，.故z的最大值为. 8．证明：因为且所以设 则： 即 例1答：选（B）a、b是关于x的方程 的两个根，整理此方程，得，∵ ，，. 故a、b均为负数. 因此 . 例2（1）解：（用平均值　代换，可化为双二次方程.） 设 y= x－2 ，则x=y+2.　　　　 原方程化为　　(y+2)4+(y－2)4=626. ［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0 整理，得　　y4+24y2－297=0. 　　(这是关于y的双二次方程). (y2+33)(y2－9)=0. 　 当y2+33=0时，　无实根 ； 　　 当y2－9=0时，　y=±3. 即x－2=±3， 　　 ∴x=5；或x=－1. （2)原方程可化为: . ① 设,则方程①化为: . ② 解方程②,得.当时，. 解得,. 当时,. 解得,或. 经检验,知,,,都是原方程的解. 所以,原方程的解为,,,. (3)原方程可化为: . ①设,则方程①化为: . ②解方程②,得. 当时, . 解得,. 当时, .此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 所以,原方程的解为. 例3解:设,则原方程组可化为: 由(2)得,. (3)