复数三角形式乘法及其几何意义练习版.docxVIP

复数的三角形式 乘法及其几何意义 1、复数的三角形式及运算 　　(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ． 　　说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍． 　　(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中． 　　说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角． 　　(3)复数的三角形式的运算： 　　设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则 　　 2、复数的几何意义 　　(1)复数模的几何意义：，即Z点到原点O的距离，一般地|Z1－Z2|即Z1点到Z2点的距离． 　　(2)复数加、减法的几何意义 　　图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义． 　　即Z=Z1＋Z2，． 　　(3)复数乘、除法的几何意义： 　　设Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，则ZZ1的几何意义是把Z的对应向量按逆时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按顺时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的r1倍，所得向量即表示积ZZ1，如图，Z1≠0,的几何意义是把Z的对应向量按顺时针方向旋转一个角θ1(如果θ1＜0，就要把按逆时针方向旋转一个角|θ1|，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商. 概念：1、复数的三角形式：设|z|=r（r≥0），辐角主值：argz=， 那么复数z= 2、复数三角形式的几点要求：⑴ ⑵ ⑶ 3、回顾练习： ⑴下列那一个是复数的三角形式： (A)(cos-isin) (B) -(cos+isin) (C)(sin+icos) (D)cos+isin ⑵把下列复数化为三角形式： -3= ； ; 一、 复数的三角形式的乘法运算： 1、定理：设z1=r1(cos+isin)，z2=r2(cos+isin)，r1≥0,r2≥0 那么：z1·z2= 此定理用语言叙述为： 【例题1】 1、求下列复数的积： ①(cos+isin)·(cos+isin) ②3(cos75o+isin75o) ·(cos15o+isin15o) ③(cos3A+isin3A) · (cos2A-isin2A) 定理的推广：设zn=rn(cosn+isinn),其中rn≥0 于是：z1z2z3…zn=r1r2r3…rn[cos(1+2+3+…+n)+isin(1+2+3+…+n)] （当1=2=3=…=n 时z1n=cosna+isinna） 1、将下列乘积的结果直接写出：(如果没有特别声明，计算结果一般保留代数形式) ⑴8(cos+isin)·2 (cos+isin)= ⑵8(cos240o+isin240o)·2 (cos150o-isin150o)= ⑶3(cos18o+isin18o) ·2 (cos54o+isin54o) ·5 (cos108o+isin108o)= ⑷|3(cos-isin)· (1+i) ·(sin22o+icos22o)|= 二、复数乘法的几何意义： ⑴两个复数z1、z2相乘时，可以先画出分别与z1、z2对应的向量 、，然后把向量按逆时针方向旋转（0如何？） 再把模变为原来的r1倍，所得的向量就表示积z1z2. *特征：旋转+伸缩变换 ⑵向量的旋转与伸缩可以转化为两个复数的乘积. 【例题2】试说明下列乘法运算可以看成对应向量的如何变化： ⑴8(cos+isin)·2 (cos+isin)： ⑵8(cos240o+isin240o)·2 (cos210o-isin210o)： ⑶3(cos18o+isin18o) ·2 (cos54o+isin54o) · (cos108o+isin108o)： 【例题3】 1、对应复数-1+i,将按逆时针方向旋转120o后得到， 求对应复数z 2、（2000全国）把复数3-i对应向量按顺时针方向旋转，所得向量对应复数为( ) (A)