电动力学的相对论不变性.doc

5电动力学的相对论不变性 本节主要论述如何将描述电动力学的方程转化为四维形式。 一、四维电流密度矢量 1、电荷密度的可变性 电荷量是洛伦兹标量，即。（电荷量与运动无关。） 电荷密度与体积有关，长度在运动中收缩，体积必然变化，密度是一个可变量。（设静止密度为，它是一不变量。） 设带电体与固连，运动速度为， ，体积 在二系观察者测量带电体密度分布为ρ，体积为dv， 由于运动尺缩： 注意：这里带电体可沿任意方向运动，且不必是均匀速度，在某一瞬间与带电体可有一瞬时惯性系∑′存在。 2、四维电流分布矢量。 在∑系是测得，而四维速度 引入则可引入四维电流密度 很显然它是一个四维矢量，它将统一为整体，满足洛伦兹变换。 具体形式 3、电荷守恒定律的四维形式 它没有自由指标，为洛伦兹标量，因此在洛伦兹变换下形式不变 也可以直接证明它为不变式，引入四维矢量算符： 二、四维势矢量与达朗伯方程的四维形式 1、达朗伯算符。 麦克斯韦方程可以转化为由，在洛伦兹规范下形式为： 引入算符： □， □ 为洛伦兹标量算符。 达朗伯方程可写为 （由此可见洛伦兹规范的重要性） 2、四维势矢量。 在洛伦兹变换下它的具体形式为 3、达朗伯方程四维形式 □ 4、洛伦兹规范条件的四维形式： ， 三、电磁场张量与麦氏方程组的四维形式 统一为，统一为。它们为四维矢量。其中标量正好作为的第四个分量。由于有6个分量，显然不能构成四维矢量，但是可以想办法构成四维张量。 ⒈ 由四维势引入电磁场张量。 已知 可得到，， 定义四维电磁场张量： 具体张量为 写成矩阵形式 2、麦氏方程的四维形式（仅讨论真空情况） ⑴ ① ② 同理可得③ ④ 将 ①—④合写得 （b） ⑵ 例如： 3、与系中的关系 利用四维空间张量变换式可得到 三维空间中之间的关系，一般 即他们为可变量。对特殊洛伦兹变换有 * * 设沿方向为平行分量，即： 又 同理 下面证明*式（只证） （a） （b） 下面利用*式与洛伦兹变换直接证明麦氏方程的不变性。 只证 设在系中 同理可证其他分量形式也不变 举例： 1、利用场量的变换规则（公式）证明为两个不变量 证：① ②证明从略 讨论：①对于平面电磁波，，所以在任何惯性系均成立。即虽然在不同惯性系不同，但平面波总相互垂直性质不变。此外我们可证明若，则任何系，同样。平面波在任何系相互垂直且成均匀关系。 ②同样由，可得，在任何系比值不变 ③上面证明还可以从四维量来证 对四式可导出（无自由指标，洛伦兹变量） 其中为四阶全反对称单位张量，有一相同为零，而 对③式可导出 洛伦兹标量（光自由指标） 2、求匀速运动点电荷Q的电磁场 解：假定点电荷Q静止于系原点，系沿Σ系x正方向以速度v运动。 系观测为静止电场： Σ系观测：利用 我们在Q经过Σ原点的瞬间测量空间各点场强。（即重合时测量长度） 由运动尺度收缩 ⑴ ⑵ 由此可知观测运动电荷产生的电场，在与垂直方向上分布密度大，在与平行方向上分布密度趋于0，不具有球对称。