王振发版-分析力学-课件-第3章-哈密顿正则方程.pptxVIP

第三章 哈密顿正则方程 3-1 哈密顿正则方程 3-2 正则方程的初积分 3-3 泊松括号、泊松定理 3-4 相空间(了解） 3-5 刘维定理（了解） Lagrange 方程：一组N个广义坐标表示的二阶常微分方程 Hamiltonian方程：引入一组2N个广义动量表示的一阶常微分方程 处理思路：将微分方程降阶以便于求解。 两方程组完全等价。 特点： ①简单对称 ②正则变换不变性 1. 哈密顿正则方程 1.哈密顿变量(正则变量) 设有一完整约束系统，N个自由度，受有势力作用，其Lagrange 方程： 2.哈密顿函数H 定义：系统的Hamiltonian函数 用Hamiltonian变量替代Lagrange变量描述系统的状态，得 3.哈密顿正则方程 对哈密顿函数进行微分得 对哈密顿函数定义式微分得 上式中 由 得 从而 比较上两式得哈密顿正则方程： 又 4. 正则方程说明 ①Hamiltonian正则方程与Lagrange 方程等价； ②一般情况时的Hamiltonian正则方程 ③Hamiltonian函数H的物理意义 ④定常约束时H的物理意义 以Hamiltonian变量表示的系统广义能量，即 以Hamiltonian变量表示的系统的机械能。 ⑤Hamiltonian函数H随时间的变化 代入正则方程得 Hamiltonian函数H对时间t的偏导数等于H对t的全导数。 2.正则方程的初积分 广义能量积分 1. H不显含时间t 广义保守系统 2. H不显含时间t，且约束为定常的，则系统为保守系统 机械能量积分 3. H不显含某个广义坐标 的情况 4. H不显含某个广义动量 的情况 正则方程的循环积分 3. Poisson 括号. Poisson定理 从已求出的初积分中找出新的初积分－Poisson方法 1. Poisson括号 对（3－26）求导得 引入Poisson括号（ f, H），定义 则 上式为 f 成为正则方程的初积分的条件。 正则方程的初积分f 必然满足上式； 满足上式的函数 f 必定是正则方程的初积分。 2. Poisson括号的性质 Poisson括号的一般定义 ① ② C为常数 ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 再设W＝W（qk, pk , t) 则 3. Poisson恒等式 4. Poisson定理 Poisson定理说明，由正则方程的两个已知初积分可找出第三个初积分；第一第三或第二第三组合又可找出第四个初积分……可不断求出初积分，这种方法称为Poisson方法。 注意：1. 可能发生新的初积分为零或与原来初积分不独立 2. 在物理学的其他领域有广泛应用 4.相空间 2N个变量 (qk , pk ) 构成的2N维空间称为Hamiltonian相空间，简称相空间。 某瞬时力学系统的位置和动量（qk, pk )对应相空间的一点；相空间的一点与系统的某运动状态对应——相点. 相迹：相点在相空间描画出的一条曲线，对应着系统运动.代表着正则方程的解. 相迹方程 5. Liouville定理 相流体的密度在运动中保持不变－－Liouville定理 本章结束！ 作业： 3-1，3-3