南洋高级中学2015届高三数学第一次诊断性考试试题目.docVIP

南洋高中2015届高三第一次诊断性考试 数 学 试 卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。 已知A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B＝________． 设命题p：α＝，命题q：sinα＝cosα，则p是q的___________条件． 已知i为虚数单位，则复数的模等于________． 函数y＝2sin(x＋)＋cos(－x)的最大值为_________． 设函数f (x)＝，若f (a)＝a，则实数a的值是__________． 阅读下列程序，输出的结果是______． 有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______． 设a∈R，函数f (x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f (x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为________． 已知a＝(m,n－1)，b＝(1,1)(m、n为正数)，若a⊥b，则＋的最小值是________． 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r ，则r＝；类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P－ABC的体积为V，则R＝__________． 设i、j分别表示平面直角坐标系x、y轴上的单位向量，且|a－i|＋|a－2j|＝，则|a＋2i|的取值范围是___________． 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则a5＋b5＝__________． 已知函数f (x)＝ax2＋bx＋与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f (x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为__________． 点M是椭圆(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是__________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 【本题14分】已知向量a＝(sinθ,1)，b＝(cosθ,)，且a∥b，其中θ∈(0,)．（1）求θ的值；（2）若sin(x－θ)＝，0＜x＜，求cosx的值. 【本题14分】如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE(AD，EF//AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．（1）求证：BD(CE；（2）求证：PQ∥平面ABCD． 【本题14分】某商店经销一种纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与ex（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每件产品的售价为40元时，日销售量为10件．（1）求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．   【本题16分】若椭圆C：的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程； （2）设点M(2,0)，点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标； （3）设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点，若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值． 【本题16分】已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.（1）求的值； （2）已知实数t∈R，求函数的最小值；（3）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围. 【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列．（1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1, p2是m的多项式），并求p1＋p2的值；（2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn；