第三、四章第三次向量组的线性相关性与秩解说.ppt

作 业 * P77--78 8(1); 13 §2 向量组的线性相关性 （一）线性相关与线性无关 齐次线性方程组的向量表示式为 其中 系数矩阵A 的第 j 列所构成m维列向量， o是m 维零向量. 齐次线性方程组有非零解等价于存在一组不 全为零的数 ,使得 定义 对于向量组 ，如果存在 一组不全为零的数 ，使得 则称向量组 线性相关；如果只 有当 时，等式 才成立，则称向量组 线性无关． 例2 初始单位向量组 则必有 是线性无关的． 这是因为，如果有一组数 ,使得 例1 包含零向量的向量组 是线性 相关的． 这是因为 当m=1时,向量组只有1个向量? ? 线性无关 ? 线性相关 当m=2时,向量组有2个向量 对应分量成比例. 线性相关 对于n维向量组: 线性无关 对应分量不成比例. 向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示． 向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示． 有非零解的充要条件是：系数矩阵的秩小于未知量 的个数n．即 定理 m维列向量组 线性相关的 充分必要条件是：以 为列向量的 矩阵的秩小于向量组的个数n.即 证 因齐次线性方程组 或 m 维行向量组 线性相关的充 分必要条件是： 推论1 m 维列向量组 线性无关的充分必要条件是： 推论2 当n m 时,n 个m 维列向量 线 性相关. 证 因 所以，向量组 线性相关. 推论3 设n个n维行向量 所构成的 方阵是 则以下结论等价： （1）A可逆； （2）r(A)=n； （3） （4）齐次线性方程组 AX=o只有零解； （5）向量组 线性无关. t 取何值时,下列向量组线性相关 ? 解 记 当 t = 5 时, 上面向量组线性相关. 例3 例4判断向量组 是否线性相关． 因，R(A)=23,故 线性相关． 解:对矩阵 施行初等行变换 练习: 讨论下列向量组的线性相关性: 解 ∴ R(B)=23, ，向量组线性相关. 例5 已知向量组?1, ?2, ?3线性无关， ?1=?1+?2，?2=?2+?3，?3=?3+?1， 试证?1, ?2, ?3线性无关. 证：设 x1?1+x2?2+x3?3=0 即 x1(?1+?2)+x2(?2+?3)+x3(?3+?1)=0 , 得 (x1+x3)?1+(x1+x2)?2+(x2+x3)?3=0 ， 向量组?1, ?2, ?3线性无关，得 故?1, ?2, ?3线性无关. 练习 向量组 线性无关,向量组 解 由于 故 线性无关. 或 是否相关. 定理 如果向量组 线性相关，则 向量组 也线性相关. （即：如果向量组的部分组线性相关，则整 个向量组也线性相关.） 于是 证：因向量组 线性相关，所以 存在一组数不全为零的数 ， 使得 又， 不全为零，所以， 也线性相关. 推论 线性无关向量组的任一非空