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正方形中的45度角 5. （2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。求证：DE’=DE. （2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点， 且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2=AD2+EC2. 【答案】证明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到， ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。 ∵∠DBE=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC =∠ABC。 ∴∠ABD＋∠E’BA =∠ABC，即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。 在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD， ∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。 （2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。 由（1）知DE’=DE。 由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。 又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。 ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。 在Rt△DE’A中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。 【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得 ∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。 （2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。 （2012宁夏区8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°。将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM。 （1）求证：EF=FM （2）当AE=1时，求EF的长。 【答案】 解：(1) 证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°。 ∴∠EDF + ∠FDM=90°。 ∵∠EDF=45°，∴∠FDM =∠EDF=45°。 ∵DF= DF ，∴△DEF≌△DMF（SAS）。∴EF=MF。 （2）设EF=x 。 ∵AE=CM=1 ，∴ BF=BM－MF=BM－EF=4－x 。 ∵ EB=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得，即 解得， 。 ∴EF的长为。 【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理， 【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF。 （2）由（1）的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB－AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM－FM=BM－EF=4－x，在Rt△EBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长。 （2012广东珠海7分） 如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE． 求证：（1）△ADA′≌△CDE； （2）直线CE是线段AA′的垂直平分线． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。 根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。 ∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE， ∴△ADA′≌△CDE（SAS）。 （2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上。 ∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°。 ∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。 ∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D， ∴△AEB′≌△A′ED（AAS）