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作业讲评
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一. 2.
若?是A的特征值, 则
是A*的特征值.
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二.1.
六. 设A2 – 3A + 2E = 0, 证明A的特征值只能取1或2
证明: 若?是A的特征值, 则?2 - 3? + 2是A2 -3A +2E的特征值, 即?2 - 3? + 2是零矩阵O的特征值,从而?2 - 3? + 2 = 0, 故?只能取1或者2.
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七. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求
解:
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实二次型及其标准形
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一. 实二次型及其矩阵表示
实二次型
定义1. 设x1, x2, …, xn 是n个变量，称关于x1, x2, …, xn的二次多项式 :
为这n个变量的一个实二次型。
其中ai,j皆是实数, 并约定当i ? j时ai,j = aj,i
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2. 实二次型的矩阵表示
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例1. 把下列二次型表示成矩阵的形式
解：
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二.矩阵的合同变换与二次型
1. 线性变换与二次型
设f(x1, x2, …, xn) = XTAX是一个实二次型, 其中A是一个n阶实对称方阵, XT = (x1, x2, …, xn)
设P是一个n阶实可逆方阵，在线性变换X = PY之下，
核心问题: 如何选择可逆方阵P, 使得:
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即, 如何选择可逆方阵P, 使得:
2. 矩阵的合同变换
定义2. 设A和B是两个n阶实对称方阵，若存在一个n阶的实可逆方阵P，使得B=PTAP则称矩阵B与A合同，或称B与A相和。
合同关系:
自反性;
对称性;
传递性.
等价关系
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三. 实二次型在正交变换下的标准形
定理：若A是一个n阶实对称方阵，则存在n阶正交矩阵P，使得PTAP成为一个对角矩阵? = diag(?1, ?2, …, ?n)
其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征值，称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标准形; 而把关于变量Y的二次型?1y12 + ?2y22 + … + ?nyn2称为二次型XTAX在正交变换之下的标准形，其中X=PY。
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