数学中的对称美.doc.doc

数学中的对称“美” 陈春艳 对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果A、B是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方面), 那么把A、B交换顺序,其结果不变,这就是对称原理．“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。在“对称”中往往体现出数学的“美”来。充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。本文在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙。 一、 利用关系式中变元的对称 “如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变，则称它是关于这些字母的对称式，如，等。当问题中的变元具有这种对称性，变形或运算的每一步都是对称的，则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”。这就是对称性原理之一。 例1 方程组 解的组数为( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6 分析： 显然方程组关于对称，其结果也应关于对称。 若方程只有一组解，则必有,此时由① 有，代入②、③皆不成立，所以(A)错。 若方程有两组解，则与方程组关于具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。 若方程有三组解，则应成立,此时由①，，代入②得,但由于，此方程无解，(C)也错。故应选(D)。 例2 已知且，求的最大值。 分析：显然式子关于对称，观察可知： 因为只有在时才能取得最大值，即当时，不可能取得最大值，所以由对称性知，在中，只要有两数不等，就不会取得最大值，所以当时，有最大值。 例3 设为正实数，且满足，求证： 证明：原不等式等价于 即，由； ； ； 以上三个不等式两边分别相加并整理得 ，故原不等式成立。 不等式证明中，若出现字母的对称性，一般利用来证明。 二、 利用图形的对称 平面图形有轴对称和中心对称两种,而在立体几何中的很多几何体本身就具备对称性，充分挖掘这些对称性，常常能够启迪思维，启发人们探索解题思路，发现巧妙解法。 1、 在函数中的应用， 例4 （08全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 分析：根据奇函数图象关于原点对称的性质，如图作出满足条件的一个奇函数的图象，从图中不难看出满足条件的解D. 例5 已知是方程的解，是方程的解，则的值为 分析：函数与函数的图像的交点的横坐标就是方程的解，充分利用是互为反函数，关于直线对称，而直线也关于直线对称，故与交点就是的中点，所以。 2、在几何中的应用 例6 求函数的最小值。 解 如图1，考虑点和，则 动点的轨迹方程是直线，关于直线的对称点，由， . 图1 图2 例7 已知二面角的大小为，点分别在平面内，点到平面的距离分别是2，3，则周长的最小值为 。 分析：作关于平面的对称点交平面于。易证 三 、利用其他数学情形的对称 例8 用1、2、3、4、5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) (A)24个 (B)30个 (C)40个 (D)60个 分析：末位为偶数的整数即是偶数，而2、4两数在五个数中占了2/5，根据对称性，满足条件的偶数也应占所有三位数的2/5，即有＝24个。 例9 在圆周上先任取两点连成一弦，再任取两点也连成一弦，求弦和相交的概率。 解： 利用对称性，设圆周上有四个点，现在设想随机的取两点连成一弦，余下两点也连成一弦。这样的考虑与题中所述实际上是等价的，这样的连接方法总共只有三种，其中一种连法使两弦相交，因此两弦相交的概率为。 反思提炼：一般的几何概型问题要用积分进行计算，由于在几何概率为题中具有类似的对称性，因此对称性这种方法也可应用到几何概率问题中去，既简单又初等。 例10 平面上向量、满足，求中点的轨迹方程。 分析： 此题有多种解法，但若能利用对称这一条件进行对称变换，此题可得到简便解答。由条件，如图3，是长为6的线段的中点，轴，且 在轴上取点、，连接，则易知，于是题 设对称地转换为“求到定点的距离之和为定长的动点 的轨迹方程”，如图4，不难知道M点的轨迹是以为焦点，长轴长是10的椭圆，其方程为 。 反思提炼：此题中，我们用了一个对称变换，将原题转化为一个我们很熟悉的问题。 四、利用隐含条件去揭示或构造对称 一些问题中的对称暂不存在或不明显，但可通过适当的变