子环,环的同态3-5..pptVIP

近世代数 第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想 定义 1.一个环R的一个子集S叫做R的一个子环，假如S本身对于R 的代数运算来说作成一个环。 1.一个环的非空子集S作成一个子环的充要条件： 例1.R本身是环R 的子环，{0}也是环R的子环。 一、环同态的定义与性质 定理1 问：同态环有无零因子传递吗？ 定理3 定理4（环的挖补定理） 例4 2. 一个除环R的一个子集S叫做R的一个子除环，假如S本身对于R 的代数运算来说作成一个除环 同样，可以规定子整环，子域的概念。 2.一个除环的非空子集S作成一个子除环的充要条件： （1）S包含一个不等于0的元 例2.一个环R的可以同每一个元交换的元作成一个子环，这个子环叫做R的中心。 定义1 设 是两个环, 是集合 的映射.如果对任意的 ,有 ，则称 为环 的一个同态. 为满映射,则称 为满同态, ,并称 同态. 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 ,并称 同构. 如果 记作 如果 若 与 是各有两个代数运算的系统， ，则当 是环时， 也是环. 定理2 若 是环，且 ，则 (4)当 是交换环时， 也是交换环； 是有单位元环时， 也是有 与 (5)当 单位元环时，且 且 例1 为整数环， 是模n的剩余类环 例2 做成环. 的零元是 ，而 ，故 有零因子, 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同. 若 与 是环，且 ，则 是无零因子环（整环、除环、域） 是无零因子环（整环、除环、域） 设 为环 的子环，且 与环 同构， ，又若 ，即 与 在 里的余集无公共元素，则存在 ,使 ， 即 环 证明: 令 令 规定 运算 设环 又令 * *