第十常微分方程数值解.pptVIP

R-K方法的绝对稳定区域 * 数值分析 数值分析 第十章 常微分方程数值解 第一节 求解初值问题数值方法的基本原理 第二节 高精度的单步法 第三节 线性多步法 第四节 一阶微分方程组的解法 第五节 边值问题的打靶法和差分法 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */: 只要 f (x, y) 在[a, b] ? R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1… xn= b 处的近似值 节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。 第一节 求解初值问题数值方法的基本原理 数值解 (10-1) 一、初值问题的数值解 求解(10-1)最基本的方法是单步法 单步法:从初值 开始,依次求出 ,后一步的值 只依靠前一步的 典型的单步法是Euler(欧拉)方法,其计算格式是: 例:求解常微分方程初值问题 由此可见,Euler公式的近似值接近方程的精确值. x0 x1 向前差商近似导数 记为 二、构造初值问题数值方法的基本途径 以Euler法为例说明构造IVP问题数值方法的三种基本途径 1. 数值微分法,用差商代替微商 亦称为欧拉折线法 2. Taylor展开法 忽略高阶项,取近似值可得到Euler公式 3. 数值积分法区间 将 区间 积分 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */ 向后差商近似导数 x0 x1 )) ( , ( ) ( 1 1 0 1 x y x f h y x y + ? 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 三、Euler法的改进及梯形公式 梯形公式 /* trapezoid formula */ — 显、隐式两种算法的平均 中点欧拉公式 /* midpoint formula */ 中心差商近似导数 x0 x2 x1 改进欧拉法 /* modified Euler’s method */ Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 ) , ( n n n y x f h y + = 1 + n y Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 1 + n y )] , ( ) , ( [ 2 1 1 + + + + = n n n n n x f y x f h y y 1 + n y 注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。一方面它有较高精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。 局部截断误差:设 是初值问题(10.1)的解,用单步法计算到第n步没有误差,即 ,则 定义 四、单步法的误差分析和稳定性 1. 整体截断误差和局部截断误差 整体截断误差:数值解 和精确解 之差 整体截断误差除与 步计算有关外,还与 的计算 有关 分析计算中的某一步,显式单步法的一般形式可写为: 其中 称为增量函数。如对于Euler公式其增量函数 称为单步法在点 处的局部截断误差。 定义 　　　若某算法的局部截断误差为 ，则称该算法有p 阶精度。 欧拉法的局部截断误差,由Taylor展开: 欧拉法具有 1 阶精度。 类似可以证明改进的Euler方法具有2阶精度 2. 收敛性和整体截断误差 　　　 若某算法对于任意固定的 x = x0 + n h，当 h?0 ( 同时 n ? ?) 时有 yn? y( xn )，则称该算法是收敛的。 定义 例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 解：该问题的精确解为