第6单元_几个典型的代数系统_[离散数学].pptVIP

第三部分：代数结构（授课教师：向胜军） 循环群G=a的子群仍是循环群。 若G是无限阶循环群，则G的子群除了{e}外都是无限阶； N阶循环群G=a的子群的阶都是n的正因子。对于n的每个正因子d，G中只有一个d阶子群，就是由an/d生成的子群。 n元对称群的任何子代数称为n元置换群。 如：S3={(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}就是3元对称群。因为S3关于置换的复合运算?不能交换，所以S3不是阿贝尔群。 S3有6个子群，即有6个3元置换群。 见P135。 §2 环与域 DEFINITION 7. 设R, +, ·是代数系统，R为集合，+, ·为二元运算，如果 (1) R, +为阿贝尔群； (2) R, ·为半群； (3) 乘法·对加法+适合分配律。则称R, +, ·是环。 +可结合、可交换，存在幺元，且任何元素都有逆元。 ·可结合 如： (1) Z, +, ·, Q, +, ·, R, +, ·都是环。 (2) Mn(R), +, ·是环。 (3) Zn, ?, ⊙是模n的整数环。其中Zn ={0, 1, …, n-1}，?和⊙分别表示模n的加法和乘法，即?x, y?Zn，有： x ? y =(x+y) mod n x ⊙ y =(xy) mod n 交换环：在环R, +, ·中，·适合交换律。 含幺环：在环R, +, ·中，·有幺元。此时，通常把+幺元记作0，·幺元记作1。可以证明+的幺元恰好是·的零元。 左（右）零因子：在环R, +, ·中，若?a,b?R, a?0, b?0，但ab=0，则a为R中的左零因子。b为R中的右零因子。 无零因子环：环R中既不含左零因子，也不含右零因子，即?a,b?R, ab=0?a=0?b=0. 0为·的零元 如： (1) Z, +, ·, Q, +, ·, R, +, ·, Zn, ?, ⊙都是交换环。Mn(R), +, ·不是交换环，因为矩阵乘法运算不可交换。 (2) 它们都是含幺环。因为1是·的幺元，也是⊙的幺元。n阶单位矩阵E是环Mn(R)的乘法幺元。 (3) Z, +, ·, Q, +, ·, R, +, ·都是无零因子环。而Zn, ?, ⊙不一定是无零因子环。如Z6, ?, ⊙中有2⊙3=0，但2和3都不是0，所以Z6, ?, ⊙不是无零因子环，而Z5, ?, ⊙是无零因子环。 DEFINITION 8. 若环R, +, ·是交换、含幺、和无零因子的，则称R为整环。 若环R, +, ·至少含有2个元素且是含幺和无零因子的，并且?a?R(a?0)有a-1?R，则称R为除环。 若环R, +, ·既是整环，又是除环，则称R是域。（至少含有2个元素、交换、含幺、无零因子、除0外都有逆元） 如： (1) Z, +, ·是整环但不是域。 因为乘法可交换，1是幺元，且不含零因子，所以是整环。但除了?1之外，任何整数都没有乘法的逆元，所以不是域。 (2) R, +, ·是域，即实数域。因为?x?R，x?0，有：x-1=1/x?R. EXAMPLE 4 设S为下列集合，+和·为普通加法和乘法。 (1) S={x | x=2n∧n?Z}. (2) S={x | x=2n+1∧n?Z}. (3) S={x | x?Z∧x≥0}=N. (4) 问S和+, ·能否构成整环？能否构成域？为什么？ 解：(1) 不是整环，也不是域。因为乘法幺元是1，而1?S. (2) 不是整环，也不是域。因为S, +不是群，S当然就不是环，+的幺元是0，而0?S. (3) S, +不是群，因为除0以外任何正整数x的加法逆元是-x，而-x?S. S当然就不是环，更不是整环和域。 (4) S是域。∵?x1, x2?S，有： ∴S对+和·是封闭的。 又∵乘法幺元1?S，易证S, +, ·是整环。 ∴S, +, ·是域。 定理6： 设R, +, ·是环，则： (1) ?a?R，a·0=0·a=0. (2) ?a, b?R，(-a)b=a(-b)=-(ab). (3) ?a, b?R，(-a)(-b)=ab. (4) ?a, b, c?R，a(b-c)=ab-ac. (b-c)a=ba-ca. 在环中做加法和乘法只能遵从加法的交换律和结合律、乘法的结合律、乘法对加法的分配律，以及此定理中所给出的算律。 EXAMPLE 5 设R, +, ·是环，?a, b?R，计算(a-b)2和(a+b)3. 解： (a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ba-ab-b(-b)