第5单元 插值法.pptVIP

* 第5章 插值法 拉格朗日插值 差商与牛顿插值 差分与牛顿差分插值 埃尔米特插值 分段插值 5.1 引言 在实际应用中可能遇到某些难求的函数。插值法的主要思想是构造易求的函数，如果易求的函数和难求的函数在某一区间内足够接近，那么在这一区间内就可以用易求的函数代替难求的函数进行计算。 插值的几何意义，就是在仅知道函数曲线上若干点的情况下进行作图，用一条曲线经过这些已知点，尽量使这条曲线接近原来的函数曲线，并把这条曲线近似地认为是原来的函数曲线。 常常在以下2种情况下，用插值法求f(x)。 情况一：f(x)同时满足下列条件。 ① 不知道或不存在函数f(x)的具体形式。 ② 知道f(x)上某些离散的点。 情况二：f(x)同时满足下列条件。 ① 知道函数f(x)的具体形式。 ② 对于任意的x求f(x)较为困难。 ③ 对于某些特定的x求f(x)较为容易。 5.1 引言 定义：设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，已知f(x)在[a,b]上x=x0,x1,……,xn处的函数值（设a≤x0＜x1＜……＜xn≤b，共n＋1个互异点），若存在函数p(x)，满足p(xi)=f(xi)，其中i=0,1,2,……,n，则称： ① x0,x1,……,xn为插值节点（插值基点），所求点x为插值点。 ② [a,b]为插值区间，插值点x∈插值区间[a,b]为内插，否则为外推。 ③ p(x)为插值函数，f(x)为被插函数。 ④ p(xi)=f(xi)，（其中i=0,1,2,……,n），为插值条件。 ⑤ R(x)=f(x)－p(x)为插值余项。 ⑥ 插值函数的构造方法为插值法。 常见的函数类型有幂函数、指数函数、三角函数等。在选择插值函数的类型时，应尽量遵循以下原则： ① 对任意插值条件，插值函数存在且唯一。 ② 易构造插值函数。 ③ 易估计误差。 幂函数除了满足以上条件之外，还具有高阶可导、可积，易手工计算，易编程实现等优点，是使用较广泛的插值函数。 5.1 引言 定义：代数插值（多项式插值）的插值函数是幂函数。设插值节点共有n＋1个，依次为x0,x1,……,xn，那么插值函数p(x)是次数不超过n次的代数多项式，称p(x)为n次（代数）插值多项式，它的一般形式为：p(x)=a0＋a1x＋a2x2＋……＋anxn。 由克莱姆法则，a0,a1,……,an存在且唯一，因此插值多项式p(x)存在且唯一。 本章介绍代数插值、带导数的埃尔米特插值和分段插值。本章内容是第6章数值积分的基础。 本章介绍的代数插值有拉格郎日插值和牛顿插值。由代数插值的存在唯一性可知，拉格郎日插值插值多项式和牛顿插值插值多项式在化为标准形式后是相同的，二者的区别是构造插值多项式的过程不同。 5.2 拉格朗日插值 一、拉格郎日插值函数一般形式 过n＋1个插值节点(x0,y0)，(x1,y1)，……，(xn,yn)的n次拉格郎日插值函数的一般形式为： Ln(x)= =l0(x)y0+l1(x)y1+……+ln(x)yn 其中li(x)= = 式中i=0,1,2,……,n。称li(x)为拉格郎日插值基函数。 对2个插值节点(x0,y0)，(x1,y1)的1次拉格郎日插值函数（即线性拉格郎日插值函数） 的几何含义为经过这2个插值节点的直线。 对3个插值节点(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)的2次拉格郎日插值函数（即抛物线拉格郎日插值函数） 的几何含义为经过这3个插值节点的抛物线。 拉格郎日插值余项函数Rn(x)=被插函数f(x)－插值函数Ln(x)。 5.2 拉格朗日插值 二、拉格郎日插值函数的余项 定理：拉格郎日插值余项函数Rn(x)= Wn(x)， 其中Wn(x)= =(x-x0)(x-x1)(x-x2)……(x-xn)， 当x∈[a,b]时，ξ∈[a,b]，且ξ与x有关。 5.2 拉格朗日插值 三、n次拉格郎日插值的算法 输入插值节点的个数n。 输入插值节点x[n],y[n]，插值点_x。 _y=0; for(i=0;i=n-1;i++) t=1; for(j=0;j=n-1;j++) j≠i Y N t*=(_x-x[j])/(x[i]-x[j]); _