第3单元第1节.pptVIP

* 对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 1 例如，研究某地区学前儿童的发育状况，观察他们的身高 H 和体重 W ，这时，样本空间 S ={e} ={某地区的全部学前儿童}，而 H(e) 和 W(e) 是定义在 S上的两 个随机变量。 第三章 多维随机变量及其分布 §1 二维随机变量的联合分布 一、二维随机变量的定义 定义：设 E 是一随机试验，样本空间为 S={e} . 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量，由 它们构成的向量 (X,Y) ,叫做二维随机向量 或 二维随机变量。 对 S 中每个样本点 e，有一有序实数对 (X(e),Y(e))与它对应。 二维随机变量 (X,Y) 的性质不仅与 X 及 Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，因此逐个地研究 X 或 Y 的性质还不够，还要将(X,Y) 作为一个整体来研究。 2 二、联合分布函数的定义 如果将二维随机变量(X,Y ) 看成是平面 上随机点的坐标。则分布函数 F(x,y) 在 (x,y) 处的函数值就是: 随机点 (X,Y ) 落在以点 (x,y) 为顶点且位于该点左下方的无穷矩形域内的 概率。如图所示. 3 三、分布函数的性质 与一维分布函数类似, F(x,y) 具有以下性质: 4 四、二维离散型 (X,Y) 的分布律 如果二维随机变量 (X,Y ) 的所有可能取的值只有限对或可列对，则称 (X,Y ) 是离散型随机变量。 设 (X,Y ) 的所有可能取值为 5 我们也能用常用表格来表示 X 和 Y 的联合分布律 1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 于是(X,Y )的分布律为： 6 例: 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地取值, 另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一整数值,试求 (X,Y ) 的分布律。 7 0 1 0 1 0 8 五、二维连续型随机变量 设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，如果存在非负的函数 f (x,y) 使对于任意 x,y 有： 则称(X,Y ) 是连续型的二维随机变量。 9 称 f (x,y) 为随机变量 (X, Y ) 的概率密度，或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。 (X,Y ) 的概率密度函数 f (x,y) 具有以下性质： 10 11 G §2. 边缘分布 12 13 0 1 Y X 0 1 1 14 则 (X,Y) 的联合概率分布及边缘分布由表给出 例: 袋中装有2只白球及3只黑球，现进行有放回的摸球，定义下列随机变量. 第1次摸出白球 第1次摸出黑球 第2次摸出白球 第2次摸出黑球 15 0 1 2 y=2(1-x) 16 17 18 19 §4 相互独立的随机变量 这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合外，处处成立. X Y 4 1 8 1 1 2 3 4 4 3 2 1 12 1 16 1 8 1 12 1 16 1 16 1 16 1 12 1 0 0 0 0 0 0 21 故 X, Y 不独立。 22 x y 0 1 23 24 §5 两个随机变量的函数的分布 25 x y z x+y=z 26 * * * * *