第0单元 矢量分析.pptVIP

经典电动力学的研究对象 第0章 预备知识——矢量分析 §2 散度、旋度和梯度 因为 闭合曲线L为界的面积 逐渐缩小， 也将 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以 二、旋度(Rotation) L的正方向与面积法线方向 规定要构成右手螺旋 逐渐减小，这两者的比值有一极限值，记作 ——矢量场 的旋度 ——单位面积平均环流的极限 定义： 旋度的重要性：可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处称为无旋场 三、斯托克斯定理（Stoke’s Theorem） 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。 §5 正交曲线坐标系中 运算的表达式 一、度量系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为 其中 称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数h1, h2, h3来描述。 二、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉  斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式 其中 为正交曲线坐标系的基矢； ——标量函数 ——矢量函数 三、不同坐标系中的微分表达式 1. 笛卡儿坐标 x1=x，x2=y，x3=z 拉梅系数: h1=1，h2=1，h3=1 x y z Z为常数平面 y为常数平面 x为常数平面 (x,y,z) p 2. 圆柱坐标系 x1= r， x2=φ， x3= z φ z x y z为常数平面 r为常数平面 φ为常数平面 r 与笛卡儿坐标的关系： x=rcosφ，y=rsinφ， z= z 拉梅系数: h1=1，h2=r ，h3=1 c) 球坐标系 z θ r φ y (r,θ,φ) x θ为常数平面 r为常数平面 φ为常数平面 坐标变量： 与笛卡儿坐标的关系： 拉梅系数： §0-5 二阶微分算符 格林定理 一、一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。 例子 1)设 为源点 与场 之间的距离，r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求r 的梯度。 场点（观察点） 场源点 坐标原点 o 第一步：源点固定，r 是场点的函数，对场点求梯度用 表示，则有 其中： 同理可得： 故得到： 第二步：场点固定，r是源点的函数，对源点求梯度用 表示。 其中： 同理可得： 因此： 2) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有 3) 设 求 解： 而 同理可得 故： 那么 其中 同理： 因此： 4) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证： 5) 设u是空间坐标x,y,z的函数，证明 证 二、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。 （1）标量场的梯度必为无旋场 （2）矢量场的旋度必为无散场 （3）无旋场可表示一个标量场的梯度 则 （4）无散场可表示一个矢量场的旋度 （5）标量场的梯度的散度为 （6）矢量场的旋度的旋度为 应用矢量关系 三、 运算于乘积 根据常矢运算法则 有 因此 根据常矢运算法则： * * 电话：0591Email：zyz@fzu.edu.cn 电动力学 曾 永 志 Electrodynamics Jackson,J.D. Classical Electrodynamics这本书作为教材之所以优秀，并不是讲授了多么完备的有关电动力学的知识，或者多么清楚的物理概念，虽然的确这本书达到了百科全书的级别。这本书的优点不在这里。这本书的两大优点：首先，作者向我们完美地演示了一个数学框架是怎么嵌入到物理概念体系中去的，强大的数学工具是怎样和物理上的考虑结合在一起的。作者不是像许多教科书作者，直接假定读者具备了学习电动力学所需要的所有知识，而是在每讲述一些物理问题之后，详细讲解这一问题的数学处理，比如，强调Green函数和电像法的关系，本征值问题和静电边值问题的关系。不妨读一读这本教材，会有一种左右逢源的感觉。其次，这本书的习题非常具有挑战性和启发性，一些国内的所谓题解远远不能相比，任何一个有雄心的学生都应该试一试身手。 张宗燧 《电动力学与狭义相对论》distinguish点评经典教材 这是这份点评出现的第一本中文书。