第一矩阵的初等变换.pptVIP

第一节 矩阵的初等变换 二、矩阵的初等变换 三、小结 思考题 思考题解答 第二节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结 思考题 思考题解答 第三节 线性方程的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结 思考题 思考题解答 第四节 初等矩阵 一、初等矩阵的概念 二、初等矩阵的应用 三、小结 思考题 思考题解答 第三章 习题课 １　初等变换的定义 ２　矩阵的等价 ３　初等矩阵 ４　行阶梯形矩阵 ５　行最简形矩阵 ６　矩阵的标准形 ７　矩阵的秩 ８　矩阵秩的性质及定理 ９　线性方程组有解判别定理 10　线性方程组的解法 11　初等矩阵与初等变换的关系 典　型　例　题 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 第三章　　测试题 测试题答案 列变换 列变换 解 例3 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: 解 可以看成是由3阶单位矩阵 经4次初等变换, 而得. 而这4次初等变换所对应的初等方阵为: 由初等方阵的性质得 扬州大学数学科学学院 换法变换 倍法变换 消法变换 逆变换 初等变换 　　三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换． 反身性 传递性 对称性 三种初等变换对应着三种初等矩阵． 　　由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵． 　　（１）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵　　　． 　　（２）倍法变换：以数　（非零）乘某行（ 列），得初等矩阵　　　． 　　（３）消法变换：以数　乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵　　　　． 　　经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 例如 　　经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如 　　对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如 　　所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的 矩阵． 定义 定义 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 定理 定理 　　齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 　　非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解． 定理 定理 推论 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 例４ 解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为 由于原方程组等价于方程组 由此得通解： 例５ 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形： ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解. b Ax = 非齐次线性方程组 齐次线性方程组 解 故原方程组的通解为 扬州大学数学科学学院 定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定理1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等变换 初等矩阵 初等逆变换 初等逆矩阵 定理2 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵 证 即 利用初等变换求逆阵的方法： 解 例１ 即 初等行变换 例２ 解 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 证 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变． 证毕 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 则这个子式便是 的一个最高阶非零子式. 例5 解 分析： (2)初等变换法 1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 答 相等. 即 由此可知 扬州大学数学科学学院 问题： 证 必要性. ( ) , , n D n A n A