(考研数学)北京航天航空大学线性代数6-1.pptVIP

第六章 二次型 平面解析几何中的以原点为中心的二次有心曲线方程 可通过坐标旋转变换 消去2bxy，化为 从此标准型可以识别曲线的类型, 从而研究曲线的性质. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 空间解析几何中将二次曲面方程化为标准形也是一个重要的问题. 从代数学的观点看, 化标准形就是通过变量的线性变化化简一个二次多项式, 使它只含平方项. 定义 含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次多项式 称为一个n元二次型, 简称二次型. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第一节 化二次型为标准形 第二节 二次型的规范形 第三节 正定二次型 第四节 实二次型通过正交变换化为标准形 第五节 典型例题 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第一节 化二次型为标准形 一 二次型的矩阵表示 记为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 称为二次型的矩阵表示, 建立了对称矩阵与二次型之间的一一对应关系. 当aij为实数时, f 称为的实二次型，当 aij为复数时， f 称为复二次型. =x?Ax A是对称矩阵. 例如 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二次型讨论的主要问题: 在新旧变量之间, 寻找适当的线性变换 使二次型只含新变量的平方项, 即将上式代入后 这种只含平方项的二次型, 称为二次型的标准形. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 线性变换的矩阵表示 或 x=Cy. 当矩阵C=(cij)m?n满秩时, 称为满秩线性变换. 当C为实矩阵时, 称为实线性变换, 当C为复矩阵时, 称为复线性变换. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 本章讨论的是满秩线性变换. 从x=Cy可以得到, 只有|C|?0时, 新旧变量之间的关系是唯一确定的. 二次型经过满秩变换后还是二次型. =x?Ax=(Cy)?A(Cy) = y?(C?AC)y= y?By 即 B= C?AC. 定义 设A,B为n阶方阵, 若有n阶可逆矩阵C,使得 B= C?AC 则称A与B合同, 记为 A∽B. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 合同关系的性质 (1) 自反性 (2) 对称性 (3) 传递性 说明矩阵之间的合同关系是等价关系. (4) 合同变换是保秩变换. (5) 合同变换保持对称性. 对矩阵A用满秩矩阵C做运算C?AC, 称为对A进行合同变换. 对称矩阵A的秩称为A所对应的二次型f =x?Ax的秩. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二 用配方法化二次型为标准形 对于任意n元