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《初等数论》读书报告
一、书名:《初等数论》(第三版)
二、著者:闵嗣鹤 严士健 编
三、出版社:高等教育出版社
四、页数:216页
五、内容:
第一章 整数的可除性
内容:
§1?整除的概念?带余除法
§2?最大公因数与辗转相除法
§3?整除的进一步性质及最小公倍数
§4?质数?算术基本定理
§5?函数[x],{x}及其在数论中的一个应用
通过本章的教学,要我们掌握整除的性质、掌握整除的基本概念,会使用带余数除法和辗转相除法,握最大公因数和最小公倍数的基本理论,掌握算术基本定理的推导,掌握除数和函数和完全数的基本理论;除数和函数和完全数的概念,掌握函数[x]、{x}基本理论。数论函数[x]、{x}和N!的标准分解式的推导过程以及了解并掌握抽屉原则和逐步淘汰原则。并使我们了解建立这一理论的各种途径和它们之间的相互关系,并能运用这些基本理论解决相应习题和竞赛题目。掌握我认为本章的重点是整除的基本理论、带余数除法的两种表达方式;算术基本定理;除数和函数和数论函数[x]、{x}的基本性质和N!的标准分解式。其中难掌握的是算术基本定理的推导;N!的标准分解式。
第二章 不定方程
内容:
§1?二元一次不定方程
§2?多元一次不定方程
§3?勾股数
§4?费马问题的介绍
不定方程在历史上有极其丰富的研究,文献极其丰富,也留下很多经典的难题,比如百钱买百鸡问题。另一方面,由于数学应用的空前普遍,方程及不等式的整数解问题研究,也有了应用前景。在这一章我们首先要讨论二元一次方程有整数解的条件及其解法,进而讨论多元一次方程地解法,最后了解了一些高次不定方程和著名的费马问题。
第三章 同余
内容:
§1?同余的概念及其基本性质
§2?剩余类及完全剩余系
§3?简化剩余系与欧拉函数
§4?欧拉定理?费马定理及其对循环小数的应用
§5?公开密匙――RSA体制
§6?三角和的概念
在本章中我接触了同余的概念,掌握同余的定义,理解并熟练掌握同余与整除的关系、同余的基本性质及其在算术中的应用;掌握它的基本性质和与整除之间的关系,掌握剩余类与完全剩余系的概念和性质,掌握欧拉函数与简化剩余系熟练掌握费马-欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。其中我认为重点是同余的基本性质及其在算术中的应用;余类与完全剩余系的定义和性质结构已及―欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。比较难掌握的是同余的基本性质及其在算术中的应用;费马――欧拉定理与威尔逊定理的推导和应用。
第四章 同余式
内容:
§1?基本概念及一次同余式
§2?孙子定理
§3?高次同余式的解数及解法
§4?质数模的同余式???
学习了这一章后了解了同余式的基本概念和一次同余式,会利用完全剩余系及费马小定理解同余式,同余式的常用变形,掌握解一次同余式两种方法;掌握孙子定理的推导,能熟练利用孙子定理解一次同余式组、同余式的同解定理,掌握一般同余式的解的形式、二次剩余与二次非剩余的定义。
我认为其中重点是利用完全剩余系及费马小定理解同余式,同余式的常用变形,解一次同余式两种方法;利用孙子定理解一次同余式组;同余式的同解定理,一般同余式的解的形式。
比较难掌握的是同余式的同解定理,一般同余式的解的形式。
第五章 二次同余式与平方剩余
内容:
§1?一般二次同余式
§2?单质数的平方剩余与平方非剩余
§3?勒让得符号
§4?前节定理的证明
§5?雅可比符号
§6?合数模的情形
§7?把单质数表成二数平方
§8?把正整数表成平方和
在这一章中我主要掌握勒让德符号的定义,理解掌握勒让德符号的性质及推导,熟练掌握几个基本勒让德符号的值,熟练掌握二次互反律,能利用勒让德符号判断二次同余式有无解,掌握雅可比符号的定义和性质,理解雅可比符号与勒让德符号的关系,会利用雅可比符号判定二次同余式无解;二次同余式有解的充分条件和解数,熟练掌握有解时模两种情况的解的形式,掌握模不太大时二次同余式的并且了解模为素数的高次同余式的等价定理,了解其有解的充要条件的定理和推论。掌握二次剩余与非剩余与同余式解的关系,熟练掌握欧拉判别法(判别a是否是模p的二次剩余的方法)。
我认为其中的难点是勒让德符号的性质,几个基本勒让德符号的值,二次互反律,利用勒让德符号判断二次同余式有无解,雅可比符号性质,会利用雅可比符号判定二次同余式无解;二次同余式有解的充分条件和解数,模两种情况的解的形式,模不太大时二次同余式的解法;模为素数的高次同余式的等价定理,有解的充要条件的定理。二次剩余与二次非剩余的定义以及欧拉判别法。
其中重点中的难点是利用勒让德符号判断二次同余式有无解,利用雅可比符号判定二次同余式无解;二次同余式有解的充分条件和解数和欧拉判别法。
第六章 原根与指标
内容:
§1?指数及其基本性质
§2?原根存在的条
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