导数的应用(一)概要.ppt

解题反思 实战演练 导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力． 导数的应用 （ 一） 一、利用导数研究函数的单调性 基础知识 1．极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都 x0点的函数值，称 为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值 为函数的极大值． 2．极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都 x0点的函数值，称 为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值． 3．极值： 与 统称为极值， 与 统称为极值点． 小于 点x0 f(x0) 大于 点x0 极大值 极小值 极大值点 极小值点 二、利用导数研究函数的极值 基础知识 答案：A 1．(教材习题改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是(　) A．增加的 B．减少的 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：当x∈(0,2π)时，f′(x)＝1－cos x0， ∴f(x)在(0,2π)上递增． 典型例题 答案：A　 典型例题 A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：B 典型例题 4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则 (　　) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点． 答案：D 典型例题 5．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函 数，则a的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)≥0?a≤3. 答案：3 典型例题 温馨提醒 (1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间． 考点透视 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根； (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间； (4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性． 解题反思 1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然 对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 实战演练 (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的． 故不存在a使函数f(x)在R上单调递减． [例2]　 (2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． (1)求a和b的值； (2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 考点透视 [自主解答]　(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2.