苏州科技学院学报2012-3.docVIP

非奇异H-矩阵判定的充分条件 杨亚芳, 梁茂林 (天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水 741001) 摘 要: 给出了非奇异H-矩阵判定的充分条件, 并用数值例子说明了结果的有效性. 关键字 非奇异H-矩阵; 对角占优矩阵; 不可约对角占优阵; 非零元素链 AMS(2000)Subject Classification : 15A57 中图法分类号:O241.6 Practical Sufficient Conditions for Nonsingular H-matrices Yang Yafang ( College of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001, Gansu, China ) Abstract: In this paper, some criteria criteria practical sufficient conditions for nonsingular H-matrices are given by comparing the elements of the matrix, and a numerical example illustrated the effectiveness of the result. Key words: nonsingular H-matrix; dominant matrix; irreducibility dominant matrix; nonzero elements chain AMS(2000)Subject Classification:15A57 1 引言及其符号 非奇异H-矩阵是一类十分重要的特殊矩阵, 其数值判定是矩阵理论和矩阵计算的重要课题, 国内外已有众多的研究成果, 本文对文献[3-7]作了改进, 给出了H-矩阵判别的新方法, 数值例子表明该结果在某些情况下较之已有结果有较大的改进. 设表示阶复方阵的全体, ,本文约定.记,, 显然 若 则称A是严格对角占优矩阵; 如果存在正对角矩阵X, 使得AX为严格对角占优矩阵, 则称A为非奇异H-矩阵. 当时, A是严格对角占优矩阵（A是非奇异H-矩阵）; 若 A是非奇异H-矩阵, A至少有一个严格对角占优行即 因而我们总假设 定义设不可约, 如果, 且至少有一个严格不等式成立, 则称A为非奇异H-矩阵. 定义设 满足且至少有一个严格不等式成立, 若对每一等号成立的存在非零元素链使得：, 则称A为具有非零元素链的对角占优矩阵. 引理设且不可约对角占优矩阵, 则A为非奇异H-矩阵. 引理设且具有非零元素链的对角占优矩阵, 则A为非奇异H-矩阵. 2 主要结论 定理1 设 若存在使得 成立, 则A是非奇异H-矩阵. 证明 一般的我们总假设 (若存在某个 则把第行和第列删除, 仅考虑其余子矩阵）. 令: 由（1）知，当时, 记 因此一定存在充分小的满足 构造正对角矩阵 其中 下面我们证明是严格对角占优矩阵. 当 一定有 当时, 所以 由（2），（3）知 从而B 为广义对角占优矩阵，即A为非奇异H-矩阵. 定理2 设且是不可约的, 若存在使得 且至少有一个严格不等号成立，则A是非奇异H-矩阵. 证明 构造正对角矩阵 其中 下面我们证明是严格对角占优矩阵. 所以 由（4）知 且（6）中至少有一个严格不等号成立, 从而B 为不可约对角占优矩阵，即A为非奇异H-矩阵. 定理3 设,若存在使得 成立, 且至少有一个严格不等号成立,对于每一等式成立的存在非零元素链 满足： 则A是非奇异H-矩阵. 定理3的证明完全类同于定理1, 2, 故省略. 3 数值例子 设 ， 所以从而 即该矩阵可以用本文定理1判定是非奇异H-矩阵. 但 所以文献[3]不能判定. 所以文献[4]不能判定. 所以文献[5]不能判定. 所以文献[6]不能判定. 所以文献[7]不能判定. 参考文献 [1]R.S. Varge, On recurring throrems on diagonal dominance, Lin. Alg,Appl.,1976,13:1-9. [2]A. Berman, R.J.Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, SIAM Press, Philadelphia,1994