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○ A基础理论○ B应用研究○ C调查报告●D其他岭南师范学院本科生毕业论文（设计）浅析第二型曲面积分的计算方法二级学院：数学与计算科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2011级学 号：2011224435作者姓名：文玉玲指导教师：刘小松 教授完成日期：2015年5月8日浅析第二型曲面积分的计算方法专业名称：数学与应用数学作者姓名：文玉玲指导教师：刘小松 教授论文答辩小组组 长： 刘 小 松 成 员： 石 义 霞 肖 瑾 论文成绩：目 录1 引言11.1 本文背景11.2本文主要内容及其意义12 一些定义引理12.1 基本定义12.2 基本引理23 计算方法的应用举例33.1 多投影法33.2 利用对称性法43.3 单投影法53.4 化为第一型曲面积分法63.5 直接利用高斯公式73.6 作辅助平面，再利用高斯公式73.7 参数方程法84 结语9参考文献11浅析第二型曲面积分的计算方法作者 文玉玲 指导老师 刘小松教授（岭南师范学院数学与计算科学学院 湛江 524048）摘 要：本文主要通过实例探讨了第二型曲面积分的计算方法，从而丰富了数学分析中有关第二型曲面积分的内容.关键词：第二型曲面积分；计算方法；高斯公式Discussions on theCalculation Methodsofthe SecondType ofSurfaceIntegralsWen Yuling(School of Mathematics and Computation Science,Lingnan Normal University Zhanjiang,524048) Abstract: In this paper,calculation methods of the second type of surface integrals are mainlydiscussed.Hence,the contents about the second type of surface integrals are enriched.Key words:the second type of surface integral; calculation method; Gauss formula1 引言1.1本文背景第二型曲面积分是积分学中的一类重要曲面积分，在数学分析中有着广泛的应用.关于第二型曲面积分的计算也是数学分析学习中的一个重难点，并且在许多考研试卷中也基本上是必考题之一.对第二型曲面积分的计算方法的归纳总结，不仅可以综合所学的知识拓宽视野，并能提高发散思维能力和空间想象力，目前国内外对第二型曲面积分的计算方法的研究比较普遍，这方面的内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及其意义 本文从第二型曲面积分的定义、积分曲面的对称性、两类曲面积分的关系、高斯公式等方面探讨第二型曲面积分的不同类型题解的问题，有助于进一步理解第二型曲面积分和重积分之间的关系.2 一些定义引理2.1 基本定义定义设为定向的光滑曲面，曲面上的每一点指定了单位法向量.如果是定义在上的向量值函数，称为在上的第二类曲面积分（如果右面的第一类曲面积分存在）.定义（轮换对称性）如果积分变量,在曲面方程中具有轮换对称性（即三个变量轮换位置，曲面方程不变）则有.2.2 基本引理 为了计算本文的曲面积分,需要用到下面一些引理. 引理（1）若曲面..（2）若曲面..（3）若曲面..引理设是关于面对称的分片光滑曲面，，分别为的及部分，取上侧（下侧），取下侧（上侧）, （1）若函数连续且关于为偶函数，则. （2）若函数连续且关于为奇函数，则.若关于、面、面对称时也有类似的结论. 引理设积分曲面，，其中是在面上的投影区域，被积函数，，在上连续，函数在 上具有一阶连续偏导数，则.其中当取上侧时，上式右侧取“+”，当取下侧时，上式右侧取“—”.引理设是可定向曲面，是上选定的某一侧的法向量，则，其中，，是法向量的方向余弦.引理设空间区域由分片光滑双侧曲面所围成，，，在上连续，且具有一阶连续偏导数，则有，其中取外侧.3 计算方法的应用举例3.1 多投影法例1计算积分，为球面，取外侧. 分析 本例题积分属于第二型曲面积分，则由第二型曲面积分的定义利用投影公式直接计算，在计算时可分开计算三个积分：、、,即分别把曲面投影到面，面，面上化为二重积分来进行计算，投影区域的侧由曲面的方向决定. 解 由引理1,对积分，用和记前半球面和后半球面的外侧，则：，,，,故= （令 ）==.对积分，分别用和记右半球面和左半球面的外侧，则有：，,：，,对积分，分别用和记上半球面和下半球面的外侧，则有