第八章量子力学基础.ppt-课程中心.ppt

第八章 量子力学基础 由于电子的势能是球坐标r的函数，采用球坐标求解该问题更方便，在球坐标下方程为 由于方程是线性的，求解三维偏微分方程，通常采用分离变量法。其解可以设为 (1) 将上式带入式(1)中，并用 除以等式， 然后乘以 整理得 方程两边同乘以sin2θ，整理等式有 等式两边变量不同，能够相等只能是等于常数，设常数为ml，则有 (2) (3) 对于球坐标系，自然存在 的条件，带入上式有 这要求ml取值必须为0和整数，即 式（2）两边除以sin2θ，将含有r和θ的部分分别整理在等式的两端，得 (4) 同理，方程成立的条件是，两边相等必为常数，该常数设为λ，得到下列二方程 由于θ从0到π变化，为了Θ在θ=0和θ=π处，式（5）方程解有限，数学上要求 (6) (5) (5) (6) 从求解方程（4）的同时可以得到体系的能级为 该结论是求解方程得到的自然结果，这说明了量子理论描述量子体系的自洽性 n称为主量子数，决定体系的主要能量。 (7) 从求解方程（6）和（4）的同时，可以得到体系的角动量大小和角动量在外场方向上的分量分别为 l 称为轨道角动量量子数，共n个值；ml 称为磁量子数，给定l 有（2l+1）个取值。 说明体系角动量和角动量分量都是量子化的。 氢原子中电子的稳定状态是用一组量子数（n，l，ml）来描写的，电子的能量主要取决于主量子数n ，与角量子数l有微小的关系，有外场时，电子能量还与ml有关。 l =0 s l =1 p l =2 d l =3 f l =4 g l =5 h n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 1s 2s 3s 4s 5s 6 s 2p 3p 4p 5p 6p 3d 4d 5d 6d 4f 5f 6f 5g 6g 7h 电子的状态表示 用（n，l） l =0、1、2、3、…等状态 s、p、d、f…表示。 例如：2p电子 氢原子内电子的状态 第八节 算符与平均值 在量子力学理论中，测量的物理量表示成为算符形式，以体现测量过程中测量仪器对体系的影响。 本节介绍量子力学的算符在坐标空间中表示，以及算符的本征方程、本征值和力学量平均值的概念。给出常物理量用算符的表示形式，并给出计算力学量平均值的方法。 一、动量平均值和动量算符 粒子出现在 的概率为 粒子位置x的平均值可以用下式计算 同理，x2的平均值 粒子动量的平均值是否可以表示为 在坐标空间中， 表示粒子出现在 的概率，可以类比，粒子的动量出现在 的概率应该为 是动量空间波函数。 在动量空间中给出粒子的动量平均值为 （1） 【问题延伸】一个粒子的运动是按照经典力学方法处理还是按照量子力学方法处理，可以看位置的不确定与粒子线度是否可以比拟，如果可以比拟，就必须用量子力学方法处理问题，反之，用经典力学方法处理。对于本题的子弹来说，速度的不确定度为多大量级时，才能达到位置的不确定度可以与其线度比拟，这时速度的不确定度有意义吗？ 如果原子处在能量为E 的激发态上，能量的不确定度为 ，原子在该态上停留的时间为 量子力学可以证明能量和时间也存在不确定关系 实际上就是原子的能级宽度 是原子在该能级上的平均寿命 第六节 薛定谔方程 本节介绍波函数随时间演化遵循的方程，即著名的 方程，并讨论方程的意义。 一、薛定谔方程的引入 以一维运动的自由粒子为例，给出方程 一维运动的自由粒子能量为 自由粒子的波函数为 （1） 对时间求一阶导数后得 对坐标x求二阶导数后得 左乘式（1） 利用式（2）、（3）得到 （2） （3） （4） 在式（1）中做如下替换就可以得到式（4） 在一维势场中作非相对论一维运动粒子的能量为 按照上述思想替换得 方程。 ----一维 方程 粒子在三维势场中作三维运动能量为 同理做替换 得到 ----三维 方程 二、定态 方程 定态:当体系势场不显含时间t 时,体系所处状态的总能量具有确定值的状态。 定态下，描写状态的波函数的空间部分和时间部分可以完全分离，可写为 带入三维 方程中分离变量 若使等式成立，两边等于常数, 则有 方程解为 ----定态 方程 空间部分波函数满足 常数 在求解方程解过程中，利用边界条件可以同时确定。 波函数最后为 定态特点：处在定态的体系，尽管体系在空间各点的概率不尽相同，其空间各点的概率不再随时间改变，每点附近的概率有确定的值，随空间各点的分布概率是确定的。 从方程建立的初衷可以看出 ---定态下体系