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变力做功问题的解题策略与实例探讨 ◇洪奇标 变力做功的计算，在高中物理中占有十分重要的地位，而高考中又经常涉及到此类问题，但由于高中阶段所学的功的计算公式只能用于恒力做功情况，对于变力做功或物体运动轨迹是曲线时，不能用来计算功的大小。只能根据实际问题所展示的物理过程来建立相应的物理模型，并针对不同的物理模型来构建求解方法，常见的方法有以下几种：微分法、平均力法、图象法、等值法、功能原理法(含运用动能定理、功能关系、功率W=Pt公式、能量转化、机械能守恒求解)等办法。 一：微分法求变力做功 所谓“微分”法，即将运动轨迹细分为若干段，就可以将每一段可以看作直线，在这一过程中的变力当作恒力，以“恒定”代“变化”，以“直”代“曲”，再根据来求变力的功。 例1：如图1，某人用大小不变的力F转动半径为R的圆盘，但力的方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做的功。 解：在转动的过程中，力F的方向上发生变化，但每一瞬时力F总是与该时刻的速度同向，那么F在每一瞬时就与转盘转过的极小位移同向，因此无数的瞬时的极小位移，都与F同向。在转动的过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做的功的代数和，有： 二、平均力法求变力做功 如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。 例2：一辆汽车质量为800千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为：F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20米时，牵引力做的功是多少？（g=10m/s2 ） 分析：由于车的牵引力和位移的关系为：F=100x+ f0，成线性关系，故前进20米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。 解：由题意可知： 开始时的牵引力：F1=f0＝0.05×（800×10）＝400(N) 20米时的牵引力：F2=100×20+400=2400（N） 前进20米过程中的平均牵引力:F平=1400(N) 所以车的牵引力做功：W＝F平S＝1400×20＝28000（J） 三、图象法求变力做功 借助于图象面积来求功，能起到事半功倍的效果。 例3：一人从10米深的井中，用一个质量为1千克的桶盛10千克的水匀速上提，由于水桶不断漏水，每升高1米漏掉0.2千克的水，则把这桶水提上来要做多少功？（g取10米/秒2） 解：我们用纵、横坐标分别代表向上匀速提水所用的力及水桶的位移，如图2示：水桶开始离开水面即s =0时，手的拉力为（10+1）×10=110牛，故开始在点A(0,110)。因为每升高1米，漏掉0.2千克的水，故上升10米即s=10米时，漏掉2千克的水，此时手的拉力为（11-2）×10=90牛，即结束点B(10,90)。 依题，因每升高1米漏掉0.2千克的水，则拉力减小2牛，故k=△F/△s= -0.2牛/米 为一恒量，此k值就是连接A、B两点的线段的斜率，则线段下面的阴影部分的“面积”就是把水桶从水面匀速提到井口的过程中人对水桶所做的功。即: 在图象中，图线和坐标轴所围成的面积即表示力所做的功。 如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清楚，就可以在平面直角坐标系内画出图象，而图线与坐标轴所围的“面积”就代表力F所做的功。 四：等值法求变力做功 所谓等值法，是指若某一变力所做的功与某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。 例4：如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为恒力F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。 解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为： 那么恒力F的作用点移动的距离为： 故恒力F做的功： 五、用功能原理求变力做功 １、用动能定理求变力做功 动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。 动能定理表达式为，其中是所有外力做功的代数和，△Ek是物体动能的增量。如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。 例5：如图4所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点