椭圆的简单几何性质新人教A版选修21.docVIP

椭圆的简单几何性质 1.(2013·安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 2.(2013·汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于(　　) A. B. C. D. 4. (2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 5.设椭圆+=1(ab0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在(　　) A.圆x2+y2=2上 B.圆x2+y2=2内 C.圆x2+y2=2外 D.以上三种情况都有可能 6.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为　　　　. 7.(2013·沧州高二检测)椭圆的焦点在y轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程为　　　. 8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　. 9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 10.已知椭圆+=1(ab0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围. 11.(能力挑战题)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关. 答案解析 1.【解析】选B.由条件知2a+2c=2×2b, ∴a+c=2b,从而(a+c)2=4b2=4(a2-c2), 解得e==. 2.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在x轴上,且解得a=5,b=4,∴方程为+=1. 【变式备选】(2013·北京高二检测)离心率为,且过点(4,0)的椭圆的标准方程是(　　) A.+=1 B.+=1或+=1 C.x2+4y2=1 D.+=1或+=1 【解析】选D.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点. 若a=4且=,则b2=4,方程为+=1. 若b=4且=,则a2=64,方程为+=1. 3.【解析】选B.∵椭圆的焦点在x轴上,且e=, ∴=,解得m=. 【举一反三】若把题中“焦点在x轴上”去掉,结果会怎样? 【解析】当椭圆焦点在x轴上时,由=得m=. 当椭圆焦点在y轴上时,由=得m=. ∴m的值是或. 4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将PF1,PF2用半焦距c表示出来,然后借助椭圆的定义,可得a,c的关系,从而得离心率. 【解析】选D.因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, 所以PF2=2ctan 30°=c,PF1=c. 又PF1+PF2=2c=2a,所以==, 即椭圆的离心率为. 5.【解题指南】判断点P(x1,x2)与圆的位置关系,就是判断点P与圆心(0,0)的距离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断位置关系. 【解析】选B.由题意e==, ∴+=(x1+x2)2-2x1x2=+ =+1=2-=2, ∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内. 6.【解析】由条件可知m0,方程可化为x2+=1. ∵椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍, ∴2=2×2×1, 解得m=. 答案: 7.【解析】由条件知,=且2b=8, 解得a2=25,b2=16. 又∵椭圆的焦点在y轴上, ∴所求的椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 8.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3(1-),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0), 所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1-)=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6. 答案:6 【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误. 9.【解题指南】解决本题的关键是确定m的值,应先将椭圆方程化为标准形式,根据分母的大小确定焦点的位置.用m表示a,b,c,再由e=求出m的值. 【解析】椭圆方程可化为+=1, ∵m-=0, ∴m,即a2=m,b2