§2.2.1椭圆及其标准方程.pptVIP

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com §2.2.1椭圆及其标准方程 求椭圆方程的方法和步骤： 一、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 F1 F2 M(x,y) o x y F2 y x o F1 M(x,y) 焦点在x轴上,焦点是 焦点在y轴上,焦点是 F1(-c,0) 、F2(c,0) F1(0,-c) 、F2(0,c) 焦距（2C） 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。 注意：“椭圆的标准方程”是个专用名词， 就是指上述的两个方程，形式是固定的。 ①根据题意，设出标准方程； （根据焦点的位置设出标准方程） ②根据条件确定a,b的值并写出方程； 即为先定位（定焦点位置） 再定值（基本量a,b,c的值） 练习： 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=1,焦点在x轴上. (2)a=4,c= 焦点在y轴上. 解：1）关键点：椭圆的焦点在x轴上。 所以标准方程为： 因为：2a=10,2c=8 所以a=5,c=4 则椭圆的标准方程为 例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4,0）、（4,0）椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； 即为先定位 再定值 用待定系数法求解椭圆方程 解:(2)焦点在y轴上，标准方程为： 所以所求椭圆的标准方程为 例1.求适合下列条件的椭圆的标准方 程： (2)两个焦点的坐标分别是（0,-2）（0,2）并且椭圆经过点 （3）焦点在 轴上， ， ； 例1.求适合下列条件的椭圆的标准方 程： 即为先定位（定焦点位置） 再定值（基本量a,b,c的值） 注意等式c2=a2 -b2的运用 用待定系数法求解椭圆方程时 练一练： 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在 轴上， ，且过点 （2）焦距为 ， . （3）焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1). （4）经过点(2，0)和点(0，1). 5.求和椭圆 有共同的焦点，且经过点 的 椭圆方程. 练习： ②椭圆 上一点P到焦点F1的距离等于8，则点P到另 一个焦点F2的距离是____． 16 12 ①椭圆 的焦距是_____，焦点坐标为____________， 若CD为过左焦点F1的弦，则 的周长为____， 的周长为______． 三角形CF1F2通常叫做焦点三角形，其周长为定值2a + 2c 其面积为 注意： 1.当焦点位置不明确时，可设椭圆标准方程为: mx2+ny2 =1(m,n0) ,可使运算简便； 2. 画图——是为了寻找图中的等量关系，以建立方程. 例2 已知椭圆经过两点， 求椭圆方程 mx2+ny2 =1(m, n0)或 是椭圆 两种标准方程的统一形式 （1）即为先定位（定焦点位置） 再定值（基本量a,b,c的值） 用待定系数法求解椭圆方程时 （2）当焦点位置不明确时，可设椭圆标准方程为: mx2+ny2 =1(m,n0) ,可使运算简便； （3）若由题设求出基本量a,b,c的值，但不能确定焦点位置，应该分两种情况说明方程 注意等式c2=a2 -b2的运用 例 已知 B、C 是两个定点，|BC| = 6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程 . A B C x y O 解： 建系如图， 由题意 |AB|+|AC|+|BC|=16， |BC| = 6， 有|AB|+|AC|=10， ∴　由椭圆的定义知：点A的轨迹是椭圆， 2c=6 , 2a=10， ∴ c=3 ，a=5 ， b2 = a2-c2 = 52-32 =16 . 故顶点A的轨迹方程是： 例3. 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹。 M P ′ P 2 - 2 O 解：当M是线段PPˊ的中点时，设动点M的坐标为（x ， y），则P的坐标为 （x ，2 y） 因为点P在圆心为坐标原点半径为2的圆上 所以有