垂直平分线的定理.doc

知识要点详解? 1、线段垂直平分线的性质? （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。? 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD=BD，若点C在直线m上，则AC＝BC.? 定理的作用：证明两条线段相等? （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且AD＝BD，若AC=BC，则点C在直线m上.? 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上 3、关于三角形三边垂直平分线的定理? （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 定理的数学表示：如图3，若直线i、j、k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点O，且OA=OB=OC.? 定理的作用：证明三角形内的线段相等.? （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：? 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 典型例题： 例1 如图1，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（??）?? A．6cm???B．8cm?? C．10cm? ?D．12cm 例2 1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC= 2)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是 ???????? 3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是 ??? ???? 已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线，OA=OC 求证：点O在BC的垂直平分线? 例4 如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长. 4、角平分线的性质定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。? 定理的数学表示：如图4，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF=DF.?? 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.?? 定理的数学表示：如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC=PD，则点P在∠AOB的平分线上.?? 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线?? 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系 6、关于三角形三条角平分线的定理? （1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.? 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：? ①AP、BQ、CR相交于一点I；? ②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.?? 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.? （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.? 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图 （1）会作已知线段的垂直平分线； 例题：在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A、B的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）会作已知角的角平分线；? （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.? 例题：如图，已知角AOB和角AOB内两点M、N画一点P使它到角AOB的两边距离相等，且到点M和N的距离相等。 典型例题： 例1 如图，AE平分∠BAC，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD 例2 如图，已知∠ACB=∠DEB=90°，BD平分∠ABC，ED的延长线交BC的延长线于点F，求证：AE=CF 例3 如图,L1、L2、L3是三条两两相交的笔直公路，先欲