(黄)第2章二元关系(2016-3-26)案例.ppt

Ｒ是等价关系，但不直观，若用关系图表示较直观。 三个不连通的图 二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分成了三个等价类： {０},{１,２,３},{４,５} * 商集的元素个数|A/R|(即Ａ在Ｒ下的等价类个数) 称为Ｒ的秩, 即: 以集合A上的等价关系R确定的所有互不相同的等价类作为元素而构成的集合, 称为A关于等价关系R的商集. 即 2、等价关系R将A分成若干等价类，每个类选个代表组成新的集合称为A关于R的商集，表示为A/R。 例在上例中 A/R={{0},{1,2,3},{4,5}} ={[0]R,[1]R,[4]R} * 把集合Ａ分为若干非空子集Ａ1,Ａ2,…An满足： （1）当ｉ≠ｊ时, Ａi∩Ａj＝? （2）?ａ∈A，?ｉ，使ａ∈Ａi（ｉ=1，2，…，n）, 即: 则集合Pr(Ａ)＝{Ａ1,Ａ2,…,Ａn}称为Ａ的一个划分。 4.集合的划分 * 定理 Ａ上的等价关系Ｒ可确定了A的一种划分 注： (1) Pr(A)?P(A)(A的幂集) (2) 当且仅当A=Ф时，Pr(A)=Ф,P(A)={Ф} (3) 当A非空时, Pr(A)?P(A) * 反之,给定了集合Ａ的任一种划分Pr(Ａ), 也可确定Ａ上的一个等价关系 Pr(A)={[a]R|a∈A}; 证明 省略。 例 设A＝{a,b,c,d}，给定π1,π2,π3,π4,π5,π6,如下：π1={{a,b,c},{d}} π2={{a,b},{c},{d}} π3={{a},{a,b,c,d}} π4={{a,b},{c}} π5={Ф ,{a,b},{c,d}} π6={{a,{a}},{b,c,d}} 则π1和π2是A的划分，其它都不是A的划分。 因为π3中的子集{a}和{a,b,c,d}有交, ∪π4≠A， π5中含有空集，而π6 根本不是A的子集族。 * 例 设Ｒ＝{(a,b)|a,b∈Ｉ,a≡b(mod3)} 是整数集合Ｉ上模３同余的二元关系. 证明R是等价关系。 (3)若3|(a-b),3|(b-c),则 a-c=(a-b)+(b-c),3|(a-c),故R是传递的。 证明 3|(a-b) a≡b(ｍod3) (1)因3|(a-a),故R是自反的； (2)若3|(a-b),则3|(b-a),故R是对称的； 故Ｒ是等价关系 * 商集 I/R ={[０]R,[１]R,[２]R } 其中 [０]R={…,-６,-３,０,３,６,…} [１]R={…,-５,-２,１,４,７,…} [２]R={…,-４,-１,２,５,８,…} 已证Ｒ={(a,b)|a,b∈Ｉ,a≡b(mod3)} 是整数集合Ｉ上R是等价关系。 * 给定集合A上的一个等价关系总可以通过寻求互不相同的等价类找到集合A的一个划分。 反之，若给定了集合A的一个划分，若指定位于同一个子集中的两个元素是相关的，则这个关系一定是等价关系。 简言之，等价关系与划分可以相互确定。 * 小结 作业习题2（p66) 19、20、22、23、25、26、30、31 * （3）关系图：每条有向边取反向。 * 定理 设R是A到B的二元关系，设S是B到C的 二元关系，则 证明 (转置矩阵乘法的性质 由此可知 * ) 二元关系R是自反的 易见下面的结论 二元关系R-1是自反的 二元关系R是反自反的 二元关系R-1是反自反的 二元关系R是对称的 二元关系R-1是对称的 二元关系R是反对称的 二元关系R-1是反对称的 二元关系R是传递的 二元关系R-1是传递的 * * 2.2.3 关系的闭包运算 但又不希望R’与R相差太多,换句话说,添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R’就称为R的自反闭包。 设R是A上的关系，我们希望R具有某些有用 的性质,比如说自反性。 如果R不具有自反性，我们通过在R中添加一 部分有序对来改造R,得到新的关系R’使得R’具有 自反性。 通过添加有序对来构造的闭包除自反闭包外 还有对称闭包和传递闭包。具体定义如下。 * 设R是非空集合A上的关系，若存在A上的 (1) (3) 对A上任何自反的二元关系 是R在A上的自反闭包。 (2) 是自反的； 同时满足下面三个条件： 二元关系 则称 （自反闭包的最小性） * 设R是非空集合A上的关系，若存在A上的 (1) (3