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江苏省东海高级中学2011-2012学年高三第一次学情调研试题 数学 参考公式: 锥体的体积公式:,其中是锥体的底面面积,是高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.复数的共轭复数是____________. 2.若A=,B=,则是直线和直线垂直的 ___________(充要条件,充分条件,必要条件,非充分非必要条件) 4.等比数列中,已知,则______________. 5.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,则椭圆的离心率等于_______________________. 6.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,是下列命题中正确的是__________. ①若,,则 ②若,,则 ③ 若,,则 ④若,,,则 7.在中,a=15,b=10,A=60°,则cos2B =_______,函数的导函数是奇函数,若曲线的一条切线斜 率为,则切点的横坐标为_____________. 9.已知函数,将的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐 标不变,再将所得图象向右平移个单位,得到函数的图象,则函数的解析式 为_____________________. 10.双曲线的渐近线与圆相切,则r=满足,则的最小值是 . 12. 已知,式中变量,满足约束条件,则的最大值为______. 13.数列满足下列条件:,且对于任意的正整数,恒有,则的值为_______. 14.以原点为圆心且过左右焦点的圆,被双曲线的两条渐近线分成面积相等的四个部分,则双曲线的离心率为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知R. (1)求函数的最小正周期;(2)求函数的最大值,并指出此时的值. 16.已知命题对,不等式恒成立;命题在实数集内没有解;若都是真命题求的取值范围12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 18.已知的边边所在直线的方程为,满足, 点在AC边所在直线上且满足. (1)求AC边所在直线的方程; (2)求外接圆的方程; (3)若动圆过点,且与的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程. 19. 设是定义在上的函数,用分点将区间任意划分成个小区间,如果存在一个常数,使得和式()恒成立,则称为上的有界变差函数. (1)函数在上是否为有界变差函数?请说明理由; (2)设函数是上的单调递减函数,证明:为上的有界变差函数; (3)若定义在上的函数满足:存在常数,使得对于任意的、 时,.证明:为上的有界变差函数. 20.设{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项和 (1)若Sn=20,S2n=40,求S3n的值; (2)若互不相等正整数p,q,m,使得p+q=2m,证明:不等式SpSq<S成立; (3)是否存在常数k和等差数列{an},使ka-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N*),若存在,试求出常数k和数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由 6. ④ 7. 8.ln2 9. 10. 11. ;12. 5 13. ;14. 15. 解:(1)∵ . ∴. (2) 当时, 取得最大值, 其值为2 . 此时,即Z. 16.解,因为对,不等式恒成立可得或故命题p为真命题时或又命题q:在实数集内没有解, .故命题q为真命题时=.的取值范围. 17.解:设楼房每平方米的平均综合费为元,依题意得 当且仅当上式取”=” 因此,当时,取得最小值5000(元). 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为20层, 每平方米的平均综合费最小值为5000元。 ∴椭圆的标准方程为,N则=,,,,因为,所以,故∠MON为锐角.所以原点O在圆E外. 18.解:(I) , 又边所在直线的方程为,所以直线AC的斜率为. 又因为点在直线AC上, 所以AC边所在直线的方程为.即. (II)AC与AB的交点为A,所以由解得点的坐标为, 又r=. 从外接圆的方程为: . (III)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切, 所以,即. 故点的轨迹是以为焦点,实轴长为的双
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