数值分析实验汇报.docxVIP

学生实验报告院 系： 计算机学院 专 业： 计算机科学与技术年 级： 2010级 课程名称： 数值分析学 号： 201006020034 姓 名： 徐叶茂 _2013年 1 月 20 日 一、实验目的数值分析是计算机科学和应用数学的重要交叉部分，对计算机的发展与应用起着十分重要的作用，实验的目的是通过实验评价各种算法的优劣，用高级语言描述学过的算法并上机调试通过，对结果进行分析，加深对各种典型数值问题计算机求解的数值分析基本概念和原理的理解和掌握，进一步熟练掌握高级程序设计语言的使用以及熟悉相关算法在计算机上的实现过程。二、主要内容与基本要求本科目在学习的过程中共设置了四道实验题目，分别是关于拉格朗日插值问题、数值积分问题、常微分方程初值问题和非线性方程求根问题。要求我们通过实验体会算法的实现过程并对实验的结果进行误差分析。以下是四个实验的名称以及相关的顺序：实验1 拉格朗日插值算法实验实验2 组合型求积或龙贝格积分实验实验3 龙格-库塔算法与阿达姆斯算法实验实验4 弦截法和牛顿迭代法求根实验要求我们通过上机编程实现相关的算法，并对运行的结果进行保存和分析，将调试分析的结果与理论结果进行比较，从而得出算法的优劣性，将分析所得形成分析报告，最终提交实验报告。三、实验软件对于算法的实现过程利用Dev C++软件进行代码的编写并将得到的结果输出到txt记事本中从而保存实验结果和方便分析。四、实验过程实验1 拉格朗日插值算法实验对于本实验我选择的是第二章实验题中的第21题，需要实现的内容是第一问中先利用解析式得出的函数表，然后第二问是利用拉格朗日的一次和二次插值公式分别对进行插值，但是二者对应的值是不同的，第一问中所得的函数表正好为第二问的插值过程提供初值，第三问是对被插值的节点利用解析式计算出对应每个节点的解析解，第四问中要求对一次和二次拉格朗日插值算法求得的数值解和第三问求得的解析解作差，分别获得两次插值各自对应的误差。在实验过程中我将两次插值的误差取绝对值，之后对二者进行作差，从而比较二者误差的大小，这样可以体现出一次与二次插值的精确度，最后参照课本对实验结果进行分析并将分析所得的结果记录。实验2 组合型求积或龙贝格积分实验对于本实验我选择的是实验题中的第15题，要求写出组合型梯形公式和辛普生公式的标准过程，选择适当的步长计算积分并满足误差限。在本实验过程中，因为步长起初是不确定的，我们必须设计出步长变化的算法，并且结果满足所给定的误差限。值得一提的是我利用了两种算法来确定步长，一种方法是受龙贝格积分的影响，每次把步长缩小一半，直到满足题给误差限；另外一种方法是利用二分法，设最初把整个区间分为10000份，然后通过二分法逐渐减小所划分的份数，这样也就逐渐增大了步长，使步长的值逐渐接近刚好满足题给条件的情况。单从数据结果分析，第二种方法的实际效果好于第一种方法，两种方法所进行的计算次数在不同情况下是不一定的，而所用到的存储空间相差不大。实验3 龙格-库塔算法与阿达姆斯算法实验对于本实验我选取的是实验题中的第20题，对题17中的微分方程进行求解，先利用n=4的龙格-库塔公式求解了微分方程的区间内所有节点函数值，并用这些值中的前四个点作为阿达姆斯方法的初值，之后我用开型阿达姆斯公式、闭型阿达姆斯公式以及阿达姆斯预报-校正公式对微分方程分别进行了求解，需要指出的是，通常情况下闭型的阿达姆斯方程利用计算机是无法解的，但是第17题刚好是一个特殊情况，它的与项是可以分离的，即在求解的公式中项可以通过移项直接移到左边的式中，从而求解过程相当于一个开型的阿达姆斯方程，但实际应用的是闭型阿达姆斯公式原理。然后再利用题给的解析解求解了区间内节点的精确值，并与阿达姆斯方法求解的数值解依次作差，从而比较三种阿达姆斯方法的精度。最后是比较阿达姆斯方法与n=4的龙格-库塔方法在求解过程中的精度。实验4 弦截法和牛顿迭代法求根实验 对于本实验选择的是实验题第12题中的（2）、（4）两个小题，分别运用到了弦截法和牛顿迭代法两种算法求解非线性方程的根。第（2）问中要求利用弦截法求解非线性的一个根并且该根在4.0附近，根的近似值是3这样就可以确定选择进行求解的区间，选定好自变量的区间之后利用公式进行迭代即可，但是区间的上下界如果选取不恰当的话也可能会导致最终的结果因为发散而溢出，求根失败，在进行试验过程中我将这两种情况都进行了体现，并且我将误差限设置为。第（4）问中要求设计一个不用除法操作计算，取a=0.1，0.2，0.5，0.8，2.5和10，并且所提供误差限为，这个算法的实现是通过牛顿迭代法实现的，并且对于初值的选取不同需要进行的迭代次数也不一样，选取的初值离所提供的值越远，所需进行迭