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概率论与数理统计 第8章 假 设 检 验 8.1 假设检验的基本概念 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体的方差的假设检验 第8章 假 设 检 验 假设检验是指在总体上作某项假设，用从总体中随机抽取的一个样本来检验此项假设是否成立。假设检验可分为两类：一类是总体分布形式已知，为了推断总体的某些性质，对其参数作某种假设，一般对数字特征作假设，用样本来检验此项假设是否成立，称此类假设为参数假设检验。另一类是总体形式未知，对总体分布作某种假设。例如，假设总体服从泊松分布，用样本来检验假设是否成立。称此类检验为分布假设检验。本章只介绍参数假设检验问题。 8.1 假设检验的基本概念 8.1.1 假设检验的概念 假设检验中是先假设 成立，然后在这个结论成立的条件下进行推断。如果矛盾，则推翻原来的假设 这里我们运用了一条原则(即统计推断原理)：小概率事件在一次试验中不大可能发生；若小概率事件在一次试验中发生了，则认为原来的假设 不成立。 一般称 为原假设。给定的数 称为显著性水平，通常取 ，0.05，0.10等。 8.1.1 假设检验的概念 把拒绝原假设 的区域称为拒绝域。把接受原假设的区域称为接受域(即拒绝域以外的区域)。 如果根据样本值计算出统计量的观察值落入拒绝域，则认为原来的假设不成立 ，称为在显著性水平 下拒绝 ；否则认为 成立，称为在显著性水平 下接受 。 8.1.1 假设检验的概念 根据上述讨论，我们将假设检验的一般步骤归纳如下： (1) 建立原假设 (备择假设 )； (2) 根据检验对象，构造适当的统计量 (3) 在 成立的条件下，确定统计量 的分布； (4) 由显著性水平确定临界值，从而得到拒绝域或接受域； (5) 根据样本值计算统计量的观察值，由此作出接受原假设或拒绝原假设的结论。 8.1.2 两类错误 假设检验是依据局部样本对总体进行推断，由于样本的随机性和局部性，这种推断难免会作出错误的判断。通常可能犯如下两类错误：一种是当假设 为真时，依据样本的一次观察作出拒绝 的结论，另一种是当 实际不真时，却作出了接受 的结论。前者称为第一类错误，又叫弃真错误，而后者称为第二类错误，又叫取伪错误。显然，由前面的讨论可知，犯第一类错误的概率即为给定的显著性水平 。 8.1.2 两类错误 如果用 表示犯第二类错误的概率，则在实际应用中，往往希望 ， 越小越好。 但事实上当样本容量给定后，犯两类错误的概率不可能同时减小，减小其中一个，往往会增加犯另一类错误的概率。要使它们同时减小，只有不断增大样本容量，而这在实际中往往是不易甚至根本不可能做到的。因此，在实际应用中，往往根据实际需要适当地选取 ， 。 8.2 正态总体均值的假设检验 8.2.1 单个总体 的 均值的检验 1. 已知，关于 的 检验 设总体 ， 已知， 为来自该总体的样本，在原假设下，给定显著性水平 ，统计量 ，于是有分位数 8.2.1 单个总体 的 均值的检验 使 ≥ 当统计量的观察值 满足不等式 ≥ 就拒绝 这种利用服从标准正态分布的统计量来进行的检验叫 检验。 8.2.1 单个总体 的 均值的检验 1. 未知，关于 的 检验 设总体 ， 未知， 为来自该总体的样本，在原假设下，给定显著性水平 ，统计量 ，于是有分位数 ，使 ≥ 当统计量的观察值 8.2.1 单个总体 的 均值的检验 满足不等式 ≥ 就拒绝 这种利用服从t分布的统计量的检验法叫t检验法。 8.2.2 两个正态总体均值差的检验 例 为研究正常成年人男女血液中红细胞的平均数之差，检查某地正常成年男子156名，正常成年女子74名，计算得男性红细胞的平均数为465.13万/mm3，样本标准差为54.80万/mm3；女性红细胞的平均数为422.16万/mm3，样本标准差为49.20万/mm3。