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2-4 应力应变关系，物理方程 将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式(2-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(2-9)代入，可得物理方程的第二种形式： 式(2-11)可用矩阵的形式表示如下： 式(1-12)可简写为： [D]称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和 2-5 虚功原理及虚功方程 图2-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程： 图2-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图： 综合可得： 即： 式(2-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。 a b A C B (a) (b) B P A P c R B D A D C B A B A 图 2-8 虚功原理 进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， 和 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(2-15)式的关系。 将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。 在图1-8a中的 和 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。 虚功原理 虚功原理的应用范围是有条件的，力和位移并不是随意的。 对于力来讲，必须是在位移过程中处于平衡的力系； 对于位移来讲，虽然是虚位移，也必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移，并不是可以任意发生的。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图中的反力 ，由于支点C没有位移，故 所作的虚功对于零)。 反之，如图中的 和 是在位移过程中作功的力，称为主动力。 因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。 虚功原理与虚功方程 虚功原理表述如下： 在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。 虚功原理用公式表示为： 这就是虚功方程，其中P和 相应的代表力和虚位移。 虚功原理----用于弹性体的情况 虚功方程(2-16)是按刚体的情况得出的，即假设杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。 虚功原理----用于弹性体的情况 i点外力分量 j点外力分量 外力分量用 表示；引起的应力分量用 表示 y z x 0 i V i U i W i i w i v i u j U j u j W j w j V j v j 图2-9 虚功原理----用于弹性体的情况 假设发生了虚位移，虚位移分量为 用 表示外力引起的虚位移分量； 内力引起的虚应变分量用 表示 y Z X 0 i V i U i W i i w i v i u j U j u j W j w j V j v j 图2-9 虚功原理----用于弹性体的情况 在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是： 式中 是 的转置矩阵。 同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是： 因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是： 根据虚功原理得到： 这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。 虚功原理----用于弹性体的情况