群论2-2课件.pptVIP

群表示的直积和直积群的表示 1.群表示的直积：同一个群的不同的表示之间的直积. 直积的两个表示可以不可约也可以是可约表示.而直积后的结果一般是可约的. 用这种方法可以从一个群的已知的不可约表示求出该群的其他的不可约表示. 2.直积群的表示：两个可以相互对易的群的直积，得到一个新的群，这个群的表示，可以由原来两个群的表示得到.方法仍然是两个群的表示矩阵的直积. 用这种方法可以求出可以分解为两个群直积的群的表示.即用已知的不同群的表示求出直积群的表示. 1.群表示的直积 1.定义：群G的两个(可约或不可约)表示是 和 .取这两个表示的直积，即 得到一个新的矩阵的集合 ， .而 也是群G的一个表示，称为直积表示. 直积过程中，对应于同一个元素的不同表示矩阵直积.得到的仍然是这个元素的表示矩阵，一般情况下，这个新表示矩阵是可约的. 两个可约表示的直积一定是可约的. 群表示的直积得到的表示矩阵数目是不变的.新的表示的维数是原来两个表示空间维数的乘积. 2.特征标 新表示的特征标是对应的原来表示的特征标乘积. 1.群表示的直积 3.直积表示的约化 若直积表示是可约表示，则该表示可以约化为群G的不可约表示的直和. 直和的系数可以由公式求出： 即直积表示中含有 个第j个不可约表示. 4.直积表示的基函数 若 的基函数是 , 的基函数是 ，则直积表示 的基函数是由 个 构成， ，其中 . 新的表示空间的维数是原来两个表示空间的维数的乘积. 2.直积群的表示 1.直积群的表示是两个可对易的表示的直积.即 若 是 的表示， 是 的表示，则群G的表示 . 其中G中的元素为 ，对应的表示矩阵为 . 若 中有 个矩阵， 中有 个矩阵，则 中有 个矩阵. 若 和 分别是 和 维表示空间，则 是 维表示空间. 2.特征标 直积群的特征标是可对易群的表示的特征标的乘积. 即有 和 时，特征标为 ， . 2.直积群的表示 3.若 和 分别是群 和 的不可约表示，则 是 群 的不可约表示. 4.若 ，则G的所有不可约表示是 和 的所有不可约表示的直积. 即 和 的所有不可约表示的直积，穷尽了群G的全部不可约表示. 直积群G的不可约表示的数目是 ，所以群G的类数是群 和 类数的乘积. 5.基函数 若 和 分别是 和 的基函数， 则 的基函数是 ，基函数的个数是 . 2.直积群的表示 将直积群中的算符作用在基函数上： 等效于相应的函数变换 和 算符分别作用在它们自己的表示空间内的函数上. 6.例 ,其中 它们的特征标表是 则 有四个不可约表示，四个类，相应的特征标是 A 1 1 B 1 -1 1 1 1 -1 2.直积群的表示 由此可得 群的特征标表： 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 不可约表示符号 A、B：一维的不可约表示.分别指对绕主轴的操作是对称或反对称的表示. E：二维的不可约表示. T：三维的不可约表示. G：四维的不可约表示. H：五维的不可约表示. 下标1、2、3…指对某一个或某几个辅轴的操作或对某个反应面的操作的对称或不对称的表示.（不同的群，意思不太一样） 分别指对中心反演操作的对称和反对称的表示. 指对垂直于主轴的反应面 的镜像操作对称的表示. 指对垂直于主轴的反应面 的