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統計學 統計學 Chapter 3 統計量 Chapter 3 統計量 3.1　集中趨勢統計量 3.2　變異性的統計量 3.3　謝比雪夫定理及經驗法則 3.4　相對位置統計量 3.5　Excel應用範例 統計量 參數：從母體量測值的計算所獲得的數值。 統計量：從樣本量測值計算而得的數值。 統計量的計算： 集中趨勢統計量 平均數、中位數及眾數 變異性的統計量 全距、變異數與標準差 謝比雪夫定理及經驗法則 相對位置的統計量 z分數、百分位數及四分位數 3.1　集中趨勢統計量 樣本平均數（x）： 一組樣本量測值總和除以個數n。 母體平均數（μ）： 母體量測值的總和除以總量測數N。 中位數（Me）： 將一組量測數由小到大排列後，其中央位置的數值。 眾數（m）：量測值中發生次數最多的數。 平均數 一組量測值的算術平均值（mean）是最常用的中心位置衡量。算術平均值也稱為平均數。 符號 x 代表樣本平均數。 符號μ代表母體平均數。 樣本平均數的計算： 中位數 當量測組為奇數時，第((n+1)/2)位置的數值，即為中位數，可寫成Me ；當量測組為偶數時，第(n/2)位置的數值加上((n/2)+1)位置的數值，再取其平均數。 例題3.3 如果資料組因一個或多個極端值而強烈偏移，則以中位數作為中心位置的衡量，優於平均數。 眾數 第三種找出分配中心位置的方法是找出量測值中發生次數最多的數，稱為眾數（mode），可寫成m。 在連續型資料的直方圖中，最高峰那組便是眾數。 眾數可能超過一個，出現雙峰分配。 3.2　變異性的統計量 全距(R)：資料組中，最大及最小量測值間的差距。 母體變異數(σ2)：為N個量測值和平均值間的偏差平方和除以N。 樣本變異數(S2)：為個量測值和平均值的偏差平方和除以n-1。 母體標準差(σ)：為母體變異數的正平方根。 樣本標準差(S)：為樣本變異數的正平方根。 離散或變異程度是資料重要的特徵之一。 資料變異的程度代表資料間的差異程度。 全距 全距是最簡單的變異統計量，一組合n/N個量測值的資料組之全距（range），可寫為R。 為最大及最小量測值間的差距。 全距並非是資料組最適當的變異衡量方式 變異數 每一量測值與平均數的距離值。 如果，距離值很大，表示資料的離散比距離值較小者，離平均數較遠。 為了避免距離中負值因加法的關係被抵消，因此，將量測值與平均數的距離取平方，如下： 變異數（variance） 　分為母體變異數（σ2）及樣本變異數（S2）。 母體標準差（standard deviation）為母體變異數的正平方根，計算公式為： 樣本變異數定義為n個量測值的集合中，量測值和平均值的偏差平方和除以-1，計算公式為： 樣本標準差亦為樣本變異數的正平方根，計算公式為： 計算樣本變異數時是除以n-1而非除以n 。 當資料離散程度大時，變異數與標準差會相對地大；當資料離散程度小時，變異數與標準差會相對地小。 簡化變異數的計算公式被推導如下： 變異數與標準差有以下幾項特點： s值永遠大於等於0。 s2值或s值愈大，資料之變異性愈大。 若s2或s等於零，則所有量測值均為相同值。 分類資料的平均數與標準差 假設有些資料出現不只一次，且是以次數分配的方式呈現，如下: 其資料組之樣本平均數與變異數之計算公式為： 3.3　謝比雪夫定理及經驗法則 謝比雪夫定理：一組n或N個之量測值的資料組，至少有(1-(1/k2))比率的量測值，會落在距離平均數個標準差以內，此處之大於等於1。 經驗法則：已知量測組近似鐘形分配，其區間在　 （μ＋σ）將包含約68%的量測值 （μ＋2σ）將包含約95%的量測值 （μ＋3σ）將包含幾乎100%的量測值 謝比雪夫定理（Tchebysheffs theorem） 不限於量測組分配的型態，也不限於樣本或母體。 證明一組n或N個之量測值的資料組，至少有(1-(1/k2))比率的量測值，會落在距離平均數個標準差以內，此處之k大於等於1。 標準差與謝比雪夫定理對應的比率，如表3-1所示 經驗法則 可以準確地估算近似鐘形分配量測組的分配型態，如圖3-3，資料組的相對次數直方圖愈接近鐘形（bell-sharped）分配，法則愈正確。 鐘形分配通常稱為常態分配。 圖3-3　鐘形分配 經驗法則被定義為已知量測組近似鐘形分配，其區間在 （μ＋σ）或（x＋s）將包含約68%的量測值。 （μ＋2σ）或（x＋2s）將包含約95%的量測值。 （μ＋3σ）或（x＋3s）將包含幾乎100%的量測值。 標準差的檢查 由謝比雪夫定理與經驗法則，大部份的量測值會落在距離平均數兩倍標準差的區間內。 因此，資料組的全距（R），大約等於四倍標準差。 3.4　相對位置統計量 z分數： 百分位數： z分數 某觀察值在一組資料中的相對位置。 此z分數被定