第八章RLC电路与常微分方程的课件.pptVIP

第八章 RLC电路与常微分方程的解法 8.1 RC电路与常微分方程的欧拉解法 RC电路: K 2 1 R C 先把开关K接通“1” 端,电容C充满电后再把开关K接通“2”端,则这时电容C放电过程满足方程: 即电容C上的电量是时间t的函数,满足以上微分方程. 如果设: ?=RC, t=0时刻电容所带电量为Q0 则有: 考虑数值微分问题: 已知: 求f(x) 在xn 点的导数. 可以: 或: 微分方程化为一般形式: 把时间t等间隔离散化: 其中: 做如下近似: 由方程得: 即: 记: 则得到解微分方程的欧拉法递推公式: 对于RC电路: 令 得到: 方程的解析解: 微分方程化为一般形式: 把时间 t 等间隔离散化: 其中: 欧拉(Euler) 差分公式: 由方程得: 即: 记: 则得到解微分方程的欧拉法递推公式: 对于RC电路: 例如： 得到: rc(1,6,1,10); 欧拉法也可解释为Q(t)在tn处的泰勒展开: 取线性部分: 欧拉方法的截断误差: 例: 写出解如下一阶常微分方程的欧拉公式: 得: 8.2 RLC电路和改进的欧拉近似法 RLC 电路图: L R C Va K 根据基尔霍夫定律: 由于: 得: 由于: 所有: 欧拉法: 把二阶微分方程化成一阶微分方程组: 其中t是自变量,Q和I随着t的改变而改变. function [Q,I,tt]=rlc(Q0,I0,con,T,dt) % RLC电路欧拉解法 Q(1)=Q0;I(1)=I0; R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4); tt=0:dt:T; for n=1:length(tt)-1 Q(n+1)=Q(n)+dt*I(n); I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; end plot(tt,Q,r,tt,I,b); rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1); rlc(1,0,[1,5,1,5],50,0.1); 2. 向后的欧拉方法 方法分为两步: 预估: (一步)校正: 或者(k+1步)校正: function [Q,I,tt]=rlc1(Q0,I0,con,T,dt) % RLC电路向后欧拉解法 Q(1)=Q0;I(1)=I0; R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4); tt=0:dt:T; for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n); I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; Q(n+1)=Q(n)+dt*I1; I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*I1-Q1/C)/L; end plot(tt,Q,r--,tt,I,b--); rlc1(1,0,[1,1,1,5],15,0.1); hold on rlc(1,0,[1,1,1,5],15,0.1); 3. 改进的欧拉法 方法分两步: 预估: (一步)校正: 或(k+1步)校正: function [Q,I,tt]=rlc2(Q0,I0,con,T,dt) % RLC电路改进欧拉解法 Q(1)=Q0;I(1)=I0; R=con(1);L=con(2);C=con(3);V=con(4); tt=0:dt:T; for n=1:length(tt)-1 Q1=Q(n)+dt*I(n); I1=I(n)+dt*(V-R*I(n)-Q(n)/C)/L; Q(n+1)=Q(n)+dt*(I1+I(n))/2; I(n+1)=I(n)+dt*(V-R*(I1+I(n))/2- … (Q1+Q(n))/2/C)/L; end plot(tt,Q,r:,tt,I,b:); RC电路: 向后的欧拉法: 预估: 校正: 改进的欧拉法: 预估: 校正: function [Q1,Q2,Q3,tt]=rc3(Q0,T,dt,tao) % RC电路欧拉解法 Q1(1)=Q0;