第一章数理逻辑课件.pptVIP

大写英文字母P，Q，R等表示简单命题 例： P：今天下雨 命题常元：表示确定命题 命题变元：只表示任意命题的位置标志 1.2 命题联结词 一、否定联结词“?” 是一元联结词。读做“非” 例如： P： 上海是一个城市。 ?P：上海不是一个城市。 二、合取联结词“∧” 二元联结词。读做“与”、“且” 例如： （1） P：今天下雨，Q：明天下雨， P?Q：今天下雨并且明天下雨。 （2）小明与小华是兄弟。 （3）他打开箱子并拿出一件衣服。 1.2 命题联结词 三、析取联结词“∨” 读“或” 例： 灯泡有故障或开关有故障。 1.2 命题联结词 注意： 运算∨：表示“可兼或”，不能表示“排斥或” 例：选小王或小李中一人去开会。 注：“排斥或”用∨表示； 1.2 命题联结词 四、蕴含联结词“?”（条件联结词） 相当于自然语言中的“若…则…”、 “如果…就…”、“只有…才…”， 真值表如右图。 注意和自然语言的区别： （1）善意的推定； （2）前件和后件可以 没有任何联系 1.2 命题联结词 五、等价词“? ” 读“当且仅当” 练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累（R）。 3.证明两个公式等价的方法 真值表 等价公式推导 例．A、B、C、D四人比赛，观众甲、乙、丙预报比赛名次为： 甲：C第一，B第二 乙：C第二，D第三 丙：A第二，D第四 比赛结束发现甲乙丙每人各说对一半，试问实际名次（无并列者）。 解:设Pi、Qi、Ri、Si分别代表A、B、C、D第i名, i=1,2,3,4,根据题意，要找使下列3式成立的真命题： （R1??Q2）?（?R1?Q2）?1???????① （R2??S3）?（?R2?S3）?1???????② （P2??S4）?（?P2?S4）?1???????③ 1?①?② ?（R1??Q2??R2?S3）?（?R1?Q2??R2?S3）???④ 1?③?④?P2??S4? R1??Q2??R2?S3 可见P2、R1、S3为真，即C第一、A第二、D第三、B第四。 例 某件事是甲、乙、丙、丁四人中某一人干的，询问四人后回答如下： 1）甲说是丙干的； 2）乙说我没干 3）丙说甲说的不符合事实 4）丁说是甲干的 若其中三人说的对，一人说的不对，问谁干的？ 解答： 解：若A、B、C、D分别表示命题是甲、乙、丙、丁干的，设4个人所说的命题1）、2）、3）、4）分别用P1，P2，P3，P4表示，则有： P1 ? ? A ∧ ? B∧C ∧ ? D P2 ? ? B P3 ? ? C P4 ? A ∧ ? B ∧ ? C ∧ ? D 据题意，三人说的对，一人说的不对的命题P表示为： P ? （ ? P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ P4 ） ∨（ P1 ∧ ? P2 ∧ P3 ∧ P4 ） ∨ （ P1 ∧ P2 ∧ ? P3 ∧ P4 ） ∨ （ P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ? P4 ） ? (A ∧ ? B ∧ ? C ∧ ? D) ∨F ∨F ∨F ? A ∧ ? B ∧ ? C ∧ ? D 因为P为真时, A ∧ ? B ∧ ? C ∧ ? D为真,所以这件事是甲干的。 1.5重言式与蕴含式 一、重言式 1.定义： 重言式就是永真公式 定理1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。 1.5重言式与蕴含式 定理2：一个重言式，对同一分量用任何公式置换，其结果仍为重言式。 证明：由于重言式的真值与分量的指派无关，故对同一分量以任何合式公式置换后，重言式的真值永为T。 1.5重言式与蕴含式 定理3：设A，B为两个命题公式，A ? B当且仅当A?B为一重言式。 证明：若A ? B，则A,B有相同真值,A?B永为真，A?B为一个重言式。 若A?B为一重言式,则A?B永为真，故A，B真值相同,则A ? B。 2.证明公式为重言式的方法： 真值表法 等价公式推导 例：((P?Q)?(Q?R))?(P?R)为重言式 二、蕴含式： 1.定义： 若P?Q是一个永真式，则称“P蕴含Q”，记为P?Q 对P?Q来说：Q?P称作它的逆换式,?P??Q 称作它的反换式，?Q?? P称作它的逆反式，有如下关系； P?Q ? ?Q ??P Q?P ? ?P??Q 2.