第6章统计决策与贝叶斯推断课件.pptVIP

第6章 统计决策与贝叶斯推断 理学院应用数学系 戴芳 6.1 统计决策 一、基本概念 一、基本概念 二、常用的决策准则 例6.1 一位收藏家拟收购一幅名画，这幅画标价为5000元。若这幅画是真品，则值10000元；若是赝品，则一文不值。此外，买下一幅假画或者没有买下一幅真画都会损害这位收藏家的名誉，其收益情况如下表 (1) 如果收藏家有以下三种决策可供选择： ：以概率0.5买下这幅画； ：请一位鉴赏家进行鉴定（已知该鉴赏家以概率0.95 识别一幅真画，以概率0.7识别一幅假画），如果鉴赏家鉴定为真品就买下这幅画； ：肯定不买 那么，什么是这位收藏家的最小最大决策？ 可见在贝叶斯风险准则下， 是最优决策函数，换言之，当鉴定家说这幅画是真品时，这位收藏家应买下这幅画。 下面计算（3）中那些决策函数的贝叶斯风险， 先算 的边缘分布： 定义6.1 若函数 和 相比仅差一个常数因子，则称 为 的核，记为 例如 贝叶斯学派认为， 的后验分布 集先验信息和样本信息于一身，包含了 的所有可供利用的信息，所以有关 的点估计，区间估计和假设检验等统计推断都要基于后验分布来进行。 样本分布 其中 为总体 的条件概率密度。 一、贝叶斯估计 1、点估计 贝叶斯估计量就是贝叶斯决策函数（贝叶斯解） 则称 为 的贝叶斯估计量 定义 设总体 的分布函数为 ，其中参数 为具有先验分布 的随机变量，又设 为来自总体的样本。若在决策函数类 中有一个 ，使得 定理 若损失函数为 ，且 ， 则 的贝叶斯估计为 其中 为 的后验概率密度。 注：由定理可知，当使用平方损失函数 时， 的贝叶斯估计为 （或 ），即 的后验分布的期望，故称这种估计为后验期望 估计。 * * 在数理统计学中存在两大学派： 经典学派、频率学派或抽样学派 贝叶斯学派：贝叶斯统计，其核心是贝叶斯推断 统计学家瓦尔德(A.Wald)把关于假设检验和参数估计的经典统计理论加以概括，将不确定意义下的决策科学也包括在统计学范围之内，于1939年创立了统计决策理论，该理论弥补了过去统计理论的缺陷。 统计决策的显著特点是： 统计决策建立在统计分析和统计预测的基础 上，是一种定量决策 。 统计决策是在不确定情况下，应用概率来进行决策的计算和分析，是一种概率决策。 决策问题的 三个基本要素 状态集 行动集 行动空间 损失函数 依统计决策论的观点，对决策有用的信息 先验信息 样本信息 决策问题的分类 无数据 （无样本信息） 决策问题 统计决策问题 贝叶斯 决策问题 1、损失函数 描述当未知量处于状态 而采取行动 时所引起的损失，记为 线性损失函数 2、决策函数 由样本空间 到行动空间 的可测映射 称为决策函数。 3、风险函数 称为决策函数 的风险函数。 设 是一个决策函数，则损失函数 关于样本分布 的数学期望 平均损失愈小，决策函数愈好。 风险函数 描述在未知量处于状态 而采取决策 时所蒙受的平均损失。 1、一致最优决策准则 则称 为决策函数类 的一致最小风险决策函数，或称为一致最优决策函数。 定义 设 表示定义在样本空间 上取值于行 动空间 的某一决策函数类，若存在一个决 策函数 ，使得对任意 ，都有 2、最小最大（Minimax）决策准则 则称 为该统计决策问题的最小最大决策函数，相应的风险称为最小最大风险。 定义 对于一个统计决策问题，设 表示定义 在样本空间 上取值于行动空间 的某一决策