第2章光纤和光缆-1课件.ppt

2.2 光纤传输原理 亥姆霍兹方程 由矢量恒等式： 对麦克斯韦方程两边取旋度：  而： 所以： 同理，得： 令： 得： 注：在直角坐标系中，上述方程化为6个标量方程，且形式同上，在柱坐标中，Ez分量和Hz分量具有上述形式，但 和 分量的方程不同于上述形式，但只要求出Ez分量和Hz分量的关系式，其它四个分量的关系式由麦克斯韦方程组得出。 在直角坐标系中，设波导沿z轴（纵轴）方向传输，传输常数为 ，则波导中的电磁场可表示为： 将上式代入 旋度方程，利用： 则得，各个分量方程： 利用上述6个方程，可得由Ez和Hz表示的其它分量的表达式： 在圆柱坐标系 (r，φ，z)中，圆柱坐标系和直角坐标之间的变换关系： 式中 在圆柱坐标系 中，横向电场分量Er和 可表示为： 将Ex和Ey的表达式代入上两式，并利用偏微分的一些关系，得： 在圆柱坐标系中，Ez和Hz的标量方程： (2.19) (2.18a) (2.18b) 在圆柱坐标系中，表示为： 磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。 只要求得Hz、Ez的表达式，则其它分量也可求得。 式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量， c为光速。选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 如图2.6所示。 将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez 的波动方程为 (2.18a) (2.18b) (2.19) 1. 波动方程和电磁场表达式 设光纤没有损耗，折射率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为ω的单色光，电磁场与时间t的关系为exp(jωt)，则标量波动方程为 图 2.6 光纤中的圆柱坐标 磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。 解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通过麦克斯韦方程组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场和磁场。  把Ez(r, φ, z)分解为Ez(r)、Ez(φ)和Ez(z)。设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为exp(-jβz)。 由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数， 可设为exp( jvφ)，v为整数。 现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式， 电场z分量可以写成： Ez(r,φ, z)=Ez(r)ej(vφ-βz) (2.20) 把式(2.20)代入式(2.19)得到 (2.19) 式中，k0=2π/λ=2πf /c=ω/c，λ和f为光的波长和频率。 这样就把分析光纤中的电磁场分布，归结为求解贝塞尔(Bessel)方程(2.21)。  设纤芯(0≤r≤a)折射率n(r)=n1，包层(r≥a)折射率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤和常规单模光纤都满足这个条件。 为求解方程(2.21)，引入无量纲参数u, w和V。 (2.21) 因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输， 在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层(r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时， 电磁场应消逝为零。 根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。 u2=a2(n21k02 -β2) (0≤r≤a) w2=a2(β2-n22k02) (r≥a) V2=u2+w2=a2k02(n21-n22) 利用这些参数， 把式(2.21)分解为两个贝塞尔微分方程： (2.22) (0≤r≤a) (r≥a) (2.23a) (2.23b) 因此，在纤芯和包层的电场Ez(r, φ, z)和磁场Hz(r, φ, z)表达式为 Ez1(r, φ, z) (0r≤a) Hz1(r, φ, z)= Ez2(r, φ, z) Hz2(r, φ, z) (0r≤a) (r≥a) (r≥a) (2.24a) (2.24b) (2.24c) (2.24d)