第2章_数值微分与数值积分课件.ppt

2.3.3 复化积分的自动控制误差算法 在计算中常用 来估计误差。 （1） 的计算公式 对于 取分点n=1, h1=(b-a), 得： 对分(取分点n=2), h2=(b-a)/2 得： * 再对分(取分点n=4), h4=(b-a)/4 得： * ……，再对分(取分点n=2m), h2m=(b-a)/(2m), 得： 或： 其中 * （2） 计算公式的误差控制 比较 若要 只需 后者比前者便于控制 复化梯形积分的算法 1. 输入误差控制精度tol，初始分点数n，端点a,b, h=(b-a)/n 2. 建立函数文件f(x) 3. T2=(f(a)+f(b))*h/2; T1=T2+100; 6. S=Sum(S1); T2=T1/2+h*S; Clear S1 end 5. For i=1:n/2 计算 S1(i)=f(a+(2*i-1)*h) end 4. While |T2-T1|tol T1=T2 h=h/2;n=2n;%区间分半 * 7. 输出T2 结束 * 2.3.4 龙贝格(Romberg)积分公式 我们已知的T2n与Tn的关系 1. Romberg积分公式 于是可以逐次对分形成一个序列{T1,T2,T4,T8,…},此序列收敛于积分真值I.当|T2n-Tn|ε时,取T2n为I的近似值.以上算法称为复化梯形公式的逐次分半公式.但由于此序列收敛太慢,因此并不实用.现我们试图将它改造成为收敛快的序列. 结束 * 如认为 则有 于是有: 记 这样我们从收敛较慢的{Tn}序列推出了收敛较快的{Sn}序列. 截断误差由O(h2)提高到O(h4). 如认为 则有 于是有: 记 这样我们从{Sn}序列又推出了收敛更快的{Cn}柯特斯序列. 截断误差提高到O(h6),代数精度为5. 结束 * 如认为 则有 于是有: 记 这样我们从{Cn}序列又推出了收敛更快的{Rn}序列. {Rn}序列也称为龙贝格序列.截断误差提高到O(h8),代数精度为7. Romberg积分公式： 对每一个k，j从2做到k，一直做到｜Tk,k-Tk,k-1｜tol时停止计算。 结束 * T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 ﹕ ﹕ ﹕ ﹕ 表7-2 该表四个序列都是收敛的. 结束 * 例5 利用龙贝格方法计算 解:计算结果列如下表: i 2i T序列 S序列 C序列 R序列 0 1 3.00000 1 2 3.10000 3.13333 2 4 3.13118 3.14157 3.14212 3 8 3.13899 3.14159 3.14159 3.14159 4 16 3.14094 3.14159 3.14159 3.14159 这一结果与I=π相比较已有较好的精度. 算法公式： i=2,3,… 其中： 算法： 例5 利用龙贝格方法计算 程序：先建立函数文件，文件名, ff.m function y=ff(x) y=4/(1+x^2) 主程序：Romberg1.m a=0,b=1.5,m=5; h=b-a; T=zeros(m); T(1,1)=h*(ff(a)+ff(b))/2; for i=2:m for k=1:2^(i-2) ss(k)=ff(a+(k-0.5)*h); end T(i,1)=(T(i-1,1)+h*sum(ss))/2; for j=2:i T(i,j)=(4^(j-1)*T(i,j-1)-T(i-1,j-1))/(4^(j-1)-1); end