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2006-3-26 北京科技大学 自动化系 系统的内部稳定和外部稳定 BIBO稳定 渐近稳定 BIBO稳定与渐近稳定的关系 李雅普诺夫第一方法 定理1： 若f(x) 的雅克比矩阵在x=xe处所有的特征根都有负的实部。则原系统在x= xe处是渐进稳定的。且稳定性与f(x)的高阶导数无关 若f(x) 的雅克比矩阵在x= xe时所有的特征根多于一个的实部大于零。则系统在x= xe处不稳定。 若f(x) 的雅克比矩阵在x= xe处有实部为零的特征根其他均为负的实部，则系统的稳定性由f(x)的高阶导数决定。 例：设系统的状态方程为： x1=x1-x2x1 x2=-x2+x1x2 试用第一方法分析系统在平衡状态上的稳定性 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二次型标量函数性质的判别方法： 定义法：见例5.4。 希尔维斯特判据法： 设实对称矩阵 例5.5 试判断如下P阵对应的二次型函数的正定性。 (1) (2) 半正定。 正定。 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 二：李雅普诺夫第二方法的稳定性判据 设系统的状态方程为 , 平衡状态为 ，满足 ,如果存在一个标量函数V(x),它满足： (1) V(x)对所有x都是有连续的一阶偏导数； (2) V(x)是正定的，即当 (3) V(x)沿状态轨道方向计算的时间导数 分别满足下列条件： 若 为半负定，那么平衡状态 在李雅普诺 夫意义下稳定——称为李雅普诺夫稳定判据。 为半负定，但对 2) 若 为负定，或者虽然 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 任意初始状态 来说，除去x=0处，对 不恒为零，那么原点平衡状态时渐近稳定的，如果进 一步还有 ， 则系统是大范围渐近 稳定的——李雅普诺夫渐近稳定判据。 3) 若 为正定，那么平衡状态 是不稳定的 ——李雅普诺夫不稳定判据。 几点说明： 1) 对于同一个系统(不论它是线性的，还是非线性的)，可以找到不同的V(x)。只要能找到使 负定或半负定的V(x)（正定），则按照上述判据即知系统稳定性情况。 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 2) 即使找不到使V(x)正定， 负定的V(x)，也不能说明该系统是不稳定的，而只是你没有找到而已，当然若找到了符合条件（3）的V(x)则可证明系统不稳定，找不到符合上面1）、2）、3）的V(x)不能下结论。 3) 对于 ，则 ，这意味着运动 将在 形成的曲面上运动而不会收敛于原 点，这相当于极限环或者临界稳定。 4) 若 ，这时运动轨迹只在某一时刻与 某特定曲面 相切，运动轨迹通过切点后 会继续向原点收敛，因此此情况的属于渐进稳定。 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 例：已知系统状态方程为： 试分析系统平衡状态的稳定性，(线性系统的稳定性只与A有关，与控制和输出无关)。 解：（1）求平衡状态： （2）选取李雅普诺夫函数V(x), （多半线性状态方程系统可选择标准二次型的V(x)） 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) (3) 求 可见只要 就有 成立。 下面需要讨论当 成立否 若 状态方程 已知条件 矛盾 可见 不可能成立， ∴该系统是稳定。 (4) 判断大范围渐进稳定性 大范围渐进稳定性 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 另选一个李氏函数 ，请同学们再判断前面这道例题的稳定性问题。 例：已知非线性状态方程： 试判别系统的稳定性。 解：①求平衡状态 由 得 是唯一解 ③求 ，因此该 关系是渐进稳定的。 5.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ②取 当 ∴ 是大范围渐进稳定的。 例4：设系统状态方程为 试判定其稳定性。 解：①求平衡点 ②取 * * 第五章系统的稳定性与 李雅普诺夫方法 系统