弹性力学-09课件.ppt

应力分量： (g) 讨论： （1）应力分布特征： 当 R→∞时，各应力分量都趋于零。 当 R→0 时，各应力分量都趋于无穷。 实际问题中不可能应力成为无限大，而当达到屈服极限时，进入塑性变形状态。 水平截面上应力与材料常数无关，因而在任何材料的弹性体中都是同样地分布。 水平截面上全应力都指向集中力的作用点： 与式（9-18）给出应力（法向集中力情形）类似： （a） （b） （c） （2）伽辽金（Galerkin）位移函数 ?、? 、? 选取： 也可选为： （3）无限大弹性体内部受集中力的情形： —— 轴对称问题 定解条件： Love位移函数可取： Galerkin位移函数可取： 按位移求解空间问题的方法： （1）位移势函数法： 引入位移势函数： 使得： —— 位移势函数应为调和函数 （9-9） 轴对称问题位移势函数： 使位移分量表示成： （9-11） （2）拉甫位移函数法： （9-12） ——位移势函数应为调和函数 ——轴对称问题的应力分量公式 ——适用于轴对称问题 引入位移函数： 位移分量： —— Love位移函数 （9-13） Love位移函数满足的条件： —— ? 应为重调和函数。 （9-14） 应力分量式： （3）伽辽金位移函数法： 引入三个位移函数： —— 伽辽金（ Galerkin ）位移函数 —— 位移函数 ?、? 、? 应当分别为三个重调和函数。 三个位移分量： （9-15） 六个应力分量： （9-16） 六个应力分量： （4）半空间体边界上受法向集中力作用： r z 位移分量： （9-17） 应力分量： （9-18） 水平边界上任一点的垂直位移： （9-19） §9-8 半空间体在边界上受法向分布力 1. 问题 在自由表面某区域内（半径为 a 的圆域）作用有均布压力 q ，求：表面某点的垂直位移和体内的应力分布。 2. 求解 方法： 利用法向集中力作用的结果叠加求解。 （1）力作用域外一点 M 的垂直位移 在圆内取一微小面积 dA 微面积 dA上的力引起M点的垂直位移为： （9-19） M点的垂直位移可表示为： 注意到： 弦 mn 长度为 对变量? 具有对称性；有 （a） 式中：?1 为? 的最大值，即圆的切线与 OM 间的夹角。 （a） 由于 所以有 将其代入式（a）,有 （9-20） 等式右侧为椭圆积分，它的积分数值可查手册得到。 当M点位于圆的边界时，有 （9-21） （2）力作用域内一点 M 的垂直位移 当M点位于圆内时，有 ? 由 0→π/2内变化。 于是，上述积分变为 利用 （9-22） 当M点位于圆心时，r = 0，有 （9-23） 比较式（9-21）： （9-21） 最大沉陷是荷载圆的边界处沉陷的 ?/2 倍。 （3）应力分量 和位移计算类似，由叠加法计算求得。 如：求 Oz 轴上一点 M 的应力。 由式（9-18）可知，当集中力作用时，有： 将式中的P 用 (2?rdr)q 代替，并对 r 积分，有 （b） 铅垂方向的应力分量?z ： 水平面内的应力分量?r 、?? ： 在对称位置，取四个微面积：1、2、3、4，每一微面积均为：rd?dr, 先考虑微面积：1、2引起的应力?r 、?? ， 由式（9-18）可知， 将式中的P 用 (rd?dr)q 代替，有 （c） 先考虑微面积：3、4引起的应力?r 、?? ，有 （d） 将式（c）与式（d）相加，即得4个微面积上载荷引起的应力分量。 将式（c）与式（d）相加，即得4个微面积上载荷引起的应力分量： （e） 将式（e）对变量度 r、? 积分，有 积分后，得到 （f） （b） （f） 讨论： 当 z = 0 时， 即在载荷 圆的中心处，有 在O z 轴上， ?zr≡0， ?z 、 ?r 、?? 即为三个主应力， 该点的最大 剪应力发生在与 z 轴成45°的斜面上，其值为： 剪应力发生在与 z 轴成45°的斜面上，其值为： （g） 将上式对变量 z 求导，并让其为零，可求得： 即该点取得整个弹性体中最大剪应力，其值为： （h） 若取 ? = 0.3， 则z = 0.637a， §9-9 两球体之间的接触压力 1. 接触问题及其特点 P P 研究两弹性体在接触点由于接触压力引起的应力与变形。 —— 接触问题，也称赫兹（Hertz. H，1885）问题）。 特点： （1）接触处的接触压应力为未知量； （2）边界条件是未知的，由接触压力引起的变形决定的； —— 状态非线性问题。 假定： （1）假定接触面表面为理想光滑面，摩擦力可不计； （2）接触处的变形为小变形，