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2.2 赋范线性空间的点集 Def 2.2.1设 是赋范空间， ，实数 称集合 为以 为心， 为半径的开球，也称为 球形邻域，称 为以 为心， 为半径的闭球。而集合 称为以 为半径的球面。 ， 的邻域或 为心， 2.2.1开集，闭集 例2.2.1 在(R2,||.||1)中，开球B(O,1)： B(O,1)={(x,y) ∈R2||x|+|y|1}; 在(R2,||.||2)中, B(O,1)={(x,y) ∈R2||x|2+|y|21}; 在(R2,||.||∞)中, B(O,1)={(x,y) ∈R2|max{|x|,|y|}1} =｛(x,y) ∈R2||x|1,|y|}1}. Def 2.2.2 设 为赋范空间，集合 如果存在正数 ，使得 ，则称 G为X中的开集； 若F在X的补集Fc是开集，则F 称为X中的 闭集. 例如 开球 是开集， 是闭集. 和空集 是开集, 也是闭集 . Th2.2.1 在赋范线性空间X中, (2) 有限多个开集的交集是开集. (1) 任意多个开集的并集是开集. (4) 有限多个开集的并集是闭集. (3) 任意多个闭集的交集是闭集. 例2.2.1 在R中，开区间是开集，闭区间是闭集. Def 2.2.3 设 为赋范空间，集合 ，点 如果存在正数 ，使得 ，则称 是点 的邻域，如果 X0的一个开邻域. ， 是开集，则称V是 Def 2.2.4 设A是赋范线性空间X的子集. 若A是x的邻域, 则称x是A的内点。 集A的全体内点的集合称为A的内部或开核，记作 或intA. A0是开集. Th 2.2.2 设A,B是赋范线性空间X的子集, 则 (1)A0是包含在A中的最大开集，从而 A0=∪{G|G是开集，且G包含于A}; (2)A是开集当且仅当 A0=A; (3)若A包含于B, 则A0包含于B0; (4) (A∩B)0=A0∩B0. Def 2.2.5设A是赋范线性空间X的子集, x∈X. 若x的每一个邻域B(x,r)都包含A的点, 即 则称x为A的一个接触点. A的所有接触点的全体称为A的闭包, 记为 . 2.2.2 集合的闭包 Lem 2.2.1 是包含A的最小闭集, 从而 (2) A为闭集当且仅当 (5) x∈ (1) Th 2.2.3设A,B是赋范线性空间X的子集, 则 当且仅当d(x,A)=0. (2) A为闭集的充要条件是, 对于A中的任意序列{xn}, 若xn→x(n→∞), 则x∈A(即A中的任何收敛序列的极限都在A中). (1) x∈ Th 2.2.4设A是赋范线性空间X的子集, 则 的充要条件是, 存在A中的序列{xn}, s.t. xn→x (n→∞); Th 2.2.5设A是赋范线性空间X的子空间, 则A是完备的充要条件是, A是X中的闭集. 例2.2.3 c空间 c是收敛数列的全体组成的集合，按照通常苏烈的线性运算构成线性空间，在c中定义范数： 则 c是完备的赋范线性空间，且是l∞的子空间. c0空间 c0是收敛于0的数列的全体组成的集合, c0按照c中的范数也构成赋范线性空间, 且是c 的完备子空间. 利用开集和闭集, 对映射的连续性的做等价定义 . Th2.2.6 设赋范空间X到赋范空间Y中的映射f, 则如下命题等价: (1) f是连续的; (2) 对Y中的任何开集G的原象f--1(G)是X中的开集； (3) 对Y中的任何闭集F的原象f--1(F)是X中的闭集. Def 2.2.6 设 与 是赋范空间 中两个集合， ，则称 在 中稠密（简称稠）。 ，则称 是 中的稠密子集， 如果 特别如果 简称稠集。 2.2.3 稠密集与可分空间 赋范空间 称为可分的，是指 某一个可数的稠密子集. 中存在 的子集 称为可分的，如果 有可数 ， 在 中稠密。 赋范空间X是可分的, 即存在序列 ， ，使得 使得 ， 子集 Th2.2.7 设X是赋范线性空间，B是X的可数子 集，若 则X一定是可分的。 Cor 2.2.1 具有Schauder基的赋范线性空间是 可分空间。 Th2.2.8 (Weierestrass定理) 设x∈C[a,b], 则对任 意正数ε，存在多线式p(t), 使得 例2.2.4 P[a,b],C[a,b]是可分的。 例2.2.5 lp(1≤p+∞)是可分的。 例2.2.6 c, c0都是可分的。 例2.2.7 l∞是不可分的。 2.3 度量空间 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )