常微分方程数值解--补充知识4课件.pptVIP

常微分方程数值解 §1 Euler折线法 1.Euler法 2.改进Euler法 3. Euler法的预估—校正法 §2 Runge—Kutta法 1.二级R—K法 法 2.二级R—K法 法 3.三级三阶法 §1 欧拉折线法 一．Euler 法 二、改进Euler法 三、Euler法的预估—校正法 §2 、Runge—Kutta 法 一、二级二阶R—K 法 二、三级三阶R-K 法 三、四级四阶标准R-K 法 小结 掌握求解右面常微分方程初值问题的三种方法： 实验练习 * * 对于常微分方程初值问题 则（1）在区间[a,b]上存在唯一解 y=y(x). 如果f(x,y) 在 [a,b]×(-∞,+∞)上连续，且关于 y 满足 Lipschtz 条件： （1） |f (x,y1) –f(x,y2)|≤L|y1-y2| （2） 对于(1)在区间[a,b]上的唯一解 y=y(x)，一般情况下很难求出其解析解，因此只能通过数值解法求其近似解。 也就说，构造适当的数值方法，利用(1)求出 y=y(x) 在节点 x1,x2, … ,xn 处的近似函数值 y1 , y2 , … , yn 。 常用方法主要有两种：Euler 折线法和 Rune-Kutta 法。 x∈ [a,b] xi=x0+ih , i=0,1,2, …，n 对于初值问题 将区间[a,b] n 等分，步长为 h=(b-a)/n ，得到n+1个分点 已知 y=y(x) 在 x0 处的函数值为 y0 ，为求出函数在 x1 点的函数值y(x1) ，先将方程(1)进行转化。 x∈ [a,b] （1） 在区间[x0 ,x1]上将微分方程化为积分方程： 对于右端积分采用左矩形积分公式，得到近似积分： 这个近似值我们表示为： 即： x0 x1 x y O x∈ [a,b] 并称该计算方法为Euler折线性。 （3） 依此类推可以求得函数y=y(x) 在所有分点 x1,x2, … ,xn 处的近似函数值 y1 , y2 , … , yn ： 采用同样的方法，可以求出y=y(x) 在 x2 处的近似值 y2 ： 第n次近似解的整体误差为： 前面给出的Euler折线性，由于采用的左矩形积分公式，精度较低，如果我们采用梯形公式就可以加以改进，提高计算精度。 对于下式的右端积分 利用梯形公式得到： 进而得到近似计算式： 依此类推可以推得一般的计算公式 ： 并称其为改进Euler法，它是一个隐式计算格式。具体计算时，需要从中解出 yi+1 来。 （4） 例1 用Euler法和改进Euler法计算初值问题 解:以 h=0.02 为步长进行计算,这时得区间[0,0.1]上的分点 由原方程 xi = 0+ih=0.02i , i=0,1,2,3,4,5 及Euler折线公式 得具体计算公式 再由原方程 改进Euler折线公式 得到 这是一个隐式计算公式，但从中很容易解出 yi+1来： y0 =1 该初值问题的真解为 y=(1+2x)-0.45。 用两种算法计算出5个点得近似值，再计算出精确解在这些点的值，其结果列表如下： 0.92123 0.92120 0.91918 0.10 5 0.93539 0.93537 0.93367 0.08 4 0.95028 0.95026 0.94892 0.06 3 0.96596 0.96595 0.96500 0.04 2 0.98251 0.98250 0.98200 0.02 1 1.00000 1.00000 1.00000 0 0 精确解 yj 改进Euler解 yj Euler解 yj xi i 表5-1:三种解的比较 从中可以看出，改进Euler法的结果要更精确一些。 在改进Euler法中，有时并不容易解出yi+1来，这时可以通过迭代法求解，得到如下的迭代公式： 其中初值 通过Euler公式计算 合并起来就是如下的形式： 用Euler法提供初值，往往可以得到较好的结果，只需要迭代一次就可以求得很好的近似，因此上面的公式可以改为如下的形式： 并称其为预估一校正法，其中 称为预估值， yi+1为校正值。 如果进行编程计算，则改为下式： 例2 用预估一校正法求解： 取步长 h=0.1 , xi=ih, i=0,1,2, … ,10 。 解：由公式预估-校正计算公式 依此类推可以计算出 首先，由 y0=1，计算出 关于预估一校正法，如果将其推广为 则称其为m级Runge—Kutta 法，其中