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几何学的变革欧几里得和《几何原本》欧几里得是古希腊数学家，早年在雅典就读，熟知柏拉图的学说，后接受埃及托勒密国王的邀请，从雅典移居亚历山大，从事数学研究和教学。《几何原本》是两千多年前古希腊大数学家欧几里得的不朽巨著，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。Euclid of Alexandria约公元前330年—公元前260年欧式几何的公设和定理This one is so special...五条公设任意两点可以通过一条直线连接任意线段能无限延伸成一条直线以任意中心和半径可以画圆所有直角都全等若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交五条定理等于同量的量彼此相等等量加等量，其和仍相等等量减等量，其差仍相等彼此能够重合的物体是全等的整体大于部分欧式几何的第五条公设苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔（J.Playfair,1748—1819）证明上述公设等价于：过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行。平行公设（parallel postulate）若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。问题如下:它的叙述为何如此冗长呢？它能不能由四条公设推导而来呢？有没有一个更加自然的等价公设来替代它呢？尝试证明第五条公设的先驱古希腊天文学家托勒密中世纪阿拉伯数学家奥马·海亚姆和纳西尔·丁意大利数学家萨凯里德国数学家克吕格尔瑞士数学家兰伯特历史上第一次尝试首先使用归谬法第一个怀疑平行公设能被证明的数学家柳暗花明又一村的新思想他们的尝试并没有解决问题，但是为后人奠定了基础，在两千年根基的欧式几何传统的束缚下，谁将翻开惊天动地的新篇章？非欧几何之高斯的秘密 卡尔·弗里德里希·高斯最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述的物质空间、像欧式几何一样正确的新几何学。他从1799年开始意识到平行公设不能从其他的公设推导出来，并从1813年起开始发展这种不满足平行公设的新几何。C.F.Gauss,1777—1855 遗憾的是高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著，只是在和朋友的信件中透露过自己的想法。这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击。What a pity!非欧几何之波约的绝望匈牙利小伙子J.波约也发现了这个秘密，他通过他父亲将自己的发现告知高斯，希望得到高斯的认可，然而...俄国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几何的德文著作出版后，J.波约由失望变成了绝望，从此不再发表数学论文。J.Bolyai,1802—1860If I were you, I would publish it whatever...非欧几何之罗巴切夫斯基的勇敢罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果。他于1829年发表的论文《论几何原理》是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。以“通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线”作为替代公设进行逻辑推导形成了新的几何学。Nikolai Ivanovish Lobachevsky,1792—1856Lobachevsky, you’re so brave!不可思议的非欧几何? 在罗氏几何的框架下，我们能得出如下有悖于常理的结论：三角形内角之和小于两直角内角相等的三角形全等不存在面积任意大的三角形圆周长p不与半径r成正比，而是满足：非欧几何——一切皆有可能bAαβb’daB非欧几何产生的文化价值非欧几何是敢于挑战传统权威、勇于为科学献身的人类精神的产物非欧几何的诞生体现了一种积极向上的心态非欧几何的诞生体现了一种理性主义的探索精神非欧几何的精神促使人们树立宽容、包容一切的精神非欧几何为人类文化艺术创造拓宽了想象空间非欧几何的发展德国数学家黎曼发展了罗巴切夫斯基等人的思想并建立了一种更广泛的几何，即黎曼几何。这为爱因斯坦的相对论提供了数学基础。他在1854年发表了题为《关于几何基础的假设》的演讲，将高斯关于欧式空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何。B.Riemann,1826—1866黎曼的观点 从定义两个临近点的距离出发，假定微小距离的平方为二次微分齐式为：?黎曼度量?其中是坐标， ， ，…， 的函数且= 。 在此基础上定义了长度和夹角，同时引入了流形曲率的概念。在三维空间中，常曲率空间有如下三种情形： 曲率为正常数 曲率为负常数 曲率恒等于零黎曼几何罗氏几何欧氏几何黎曼几何的直观模型首先区分两个概念有限VS有界无限VS无界ABC射影几何的繁荣19世纪以前，射影几何一直在欧式几何的框架下被研究，其早期开拓者为德沙格和帕斯卡等。18世纪末与19世纪初，蒙日的《画法几何学》以及蒙日的学生卡诺等人的工作重新激发起人们对射影几何的兴趣。庞斯列与1812年至1