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四个单项练习题库、答案和五个综合练习题 练习1 数学建模及竞赛知识介绍 1．举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型． 2．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等． （1）估计一个人体内血液的总量． （2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）． （3）估计一批日光灯管的寿命． （4）确定火箭发射至最高点所需的时间． （5）决定十字路口黄灯亮的时间长度． （6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划． （7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划 3．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少． 4．假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+(t时间内人口的增长与xm- x(t)成正比（其中xm为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较． 5．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题： （1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？ （2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？ （3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间． 练习2 初等数学模型 1．在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度(与开始救火时的火势b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型． 2．设某产品的售价为p，成本为q，售量为x（与产量相等），则总收入与总支出分别为，．试在产销平衡的情况下建立最优价格模型． 3．在最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型． 4．在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设q=q0 +(t，(为增长率．又设单位时间的销售量为x = a – bp（p为价格）．今将销售期分为0 t T /2和T/2 t T两段，每段的价格固定，记作p1，p2．求p1，p2的最优值，使销售期内的总利润最大．如果要求销售期T内的总销售量为Q0，再求p1，p2的最优值． 5．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象． （1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素． （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 6．用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求 布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角(应多大（如 图1）．若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端 图1 的影响）．如果管道是其它形状呢？ 7．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr．在每一生产周期T内，开始的一段时间（0tT0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T0tT）只销售不生产，画出贮存量的图形．设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k》r和k ( r的情况． 参考解答： 1．解 不妨设，表示火势b越大，灭火速度(越小，分母b+1中的1是防止b(0x时(((而加的．最优解为 ． 2．解 因为售量x依赖于价格p，记作，称为需求函数，它是p的减函数．由此可知收入