高考文科数学等不式选讲点考精细选.docVIP

　1． 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)－a； (2)|f(x)|a(a0)－af(x)a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解． 2． 含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3． 柯西不等式 (1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立． 4． 不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等． 1．若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|a无解，则实数a的取值范围是____． 答案　(－∞，8] 解析　∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3| ≥|5－x＋x＋3|＝8， ∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8， 要使|x－5|＋|x＋3|a无解，只需a≤8. 2． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________． 答案　[0,4] 解析　由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1， 解得0≤x≤4. ∴不等式的解集为[0,4]． 3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________． 答案　2 解析　由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(·＋)2＝mn(a＋b)2＝2. 4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 答案　2 解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 5．设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为________． 答案　9 解析　＝5＋＋4x2y2 ≥5＋2 ＝9， 当且仅当x2y2＝时“＝”成立． 题型一　含绝对值的不等式的解法 例1　已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集； (2)设a－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 审题破题　(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈时去绝对值，利用函数最值求a的范围． 解　(1)当a＝－2时，不等式f(x)g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－30. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 则y＝ 其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是{x|0x2}． (2)∵a－1，则－， ∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a| 当x∈时，f(x)＝a＋1， 即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立． ∴a＋1≤－＋3，即a≤， ∴a的取值范围为. 　这类不等式的解法是高考的热点． (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法． 变式训练1　已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m. (1)当m＝5时，求f(x)0的解集； (2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围． 解　(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|5， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集： 或或 解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． (2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|m＋2， ∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2解集是R， ∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]． 题型二　不等式的证明 例2　已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 审题破题　(1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明． (1)解　因为f(x＋2)＝m－|x|， f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x