【2014东城二模】北京市东城区2014届高三下学期综合练习（二）数学理试题 含答案.docVIP

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二） 高三数学 （理科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）设集合，集合，则= （A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输 出的结果为0时，输入的值为 （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 (4) 如果实数，满足条件 则的最大值为 （A） （B） （C） （D） （5）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 （A） （B） （C） （D） （6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为 （A） （B） （C） （D） （7）若直线（为参数）被圆（为参数）所截的弦长为，则的值为 （A） 或 （B） 或 （C） 或 （D） 或 （8）对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）已知，那么 ． （10）已知平面向量，，若，，，则 ；向量，夹角的大小为 ． （11）在区间上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________． （12）如图所示，与圆相切于，直线交圆于，两点，，垂足为，且是的中点，若，则 ． （13）若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是 ． （14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），， ①若，则满足条件的点的个数为________； ②若满足的点的个数为，则的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分） 已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值． （16）（本小题共13分） “你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在的人数； （Ⅱ）从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取人，求年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记为年龄在年龄段的人数，求的分布列及数学期望． （17）（本小题共14分） 如图，四棱锥中，平面平面,// ,, ,且，. （I）求证：平面； （II）求和平面所成角的正弦值； （III）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由. （18）（本小题共13分） 已知，函数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证：对于任意的，都有. （19）（本小题共13分） 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程. （20）（本小题共14分） 设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）． （Ⅰ）求，