以微知著,发散思维——以一道数学题求解为例.doc

以微知著，发散思维——以一道数学题求解为例 摘要：长期以来，解题教学一直是高中数学教学的重难点。但是“就题论题”或者“题海战术”的解题教学方式常常使得学生陷入解题泥沼中无法自拔。特别是随着新课改进一步强化了学生在学习过程中的重要性，变革传统数学解题教学法刻不容缓。本文结合笔者的实践教学经验，以一道高考数学题为例，详细地探讨了如何从解题中实现“以微知著，发散思维”的目标，以期为新时期解题教学的相关应用与研究提供参考。有两个零点. (I) 求a的取值范围； (II) 设是的两个零点，证明： 1.2 数学题解题误区 该道高考题目是一道典型的函数综合难题，没有用现在在北京上海流行的材料阅读题，也是对学生思维“硬实力”的考察。虽然谈不上太大的创新，但是难度却是客观存在的。通过教育部的统计结果，该道题的失分率高达89.4%，这也在一定程度上验证了该道题难度之大。实际上，由于函数中涉及到参数a，且涉及到考察a的取值范围，所以此时需要注意进行分类讨论，学生必须要具备分类讨论的功底；第二问的证明显得非常“简单粗暴”，对学生的解题能力、逻辑思维能力等具有较高的要求，或者那些有过竞赛经验的学生和平时做题做过类似题的学生或许可以更加容易解决。归纳起来，学生出现解题差误的根本原因在于（1）解题思路不明确，无法及时有效地找到解题突破口；（2）解题方法不当，无法结合实际的题目来选择最佳的解题方法；（3）考虑不周全，忽视了对参数a的分类讨论，影响了结果的准确性；（4）逻辑思维能力不足，无法有效地论证相应的题干信息。与此同时，针对该道例题的求解，大多数数学教师可能会将相应的解题方法传授给学生，却没有多引导学生思考一些“为什么”，以至于学生单纯地会求解该道题目，却无法明确具体的解题思路和求解方法，从而只能够治标不治本，无法从根本上提升学生的解题能力。 2 解题教学的创新开展对策 2.1 “以微知著”，明确解题思路 从理论上来讲，科学、合理的解题思路是解决高中数学问题的第一步，也是最为关键的一步，其直接关乎后续解题能否高效、顺利的开展，所以为了确保上述2016年全国卷中该道题目求解的顺利开展，也必须要明确相应的解题思路。而就具体的做法而言，要详细地审读题目题干信息，尤其是要深入挖掘那些隐藏在题干中的相关数学信息，并在此基础上找寻解题的突破口。 比如，针对该道数学题目的求解而言，已知函数有两个零点，其表面上看是考察函数方面的有关知识，但是只要细审题就可发现其中涉及到未知参数a，且其值会对函数的类型产生相应的影响，此时如果不加注意，那么势必会出现解题不全面的问题。因此，在求解该道题目的时候，需要先将原式进行求导可得：。 ,和五种情况来进行讨论求解。而在 ①若，那么，此时仅有唯一一个零点，与题意不符合；，那么， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 即： ↓ 极小值 ↑ 故在上至多一个零点，在上至多一个零点 由于，，则， 根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点． 而当时，，， 故 则的两根，， ，因为，故当或时， 因此，当且时， 又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点． 此时，在上有且只有两个零点，满足题意． ③若，则， 当时，，， 即，单调递增； 当时，，， 即，单调递减； 当时，，，即，单调递增． 即： + 0 - 0 + ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 而极大值 故当时，在处取到最大值， 那么恒成立，即无解 而当时，单调递增，至多一个零点 此时在上至多一个零点，不合题意． ④ 若，那么 当时，，，即， 单调递增 当时，，，即， 单调递增 又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意． ⑤ 若，则 当时，，，即， 单调递增 当时，，，即， 当时，, ，即，单调递增 即： + 0 - 0 + ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解 当时，单调递增，至多一个零点 此时在R上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为。 是的两个零点以及参数a的具体取值情况，可知，通过将其带入到相应的题干函数中可知：，可知。如此一来，就可以通过构建相应的函数来证明，具体解题步骤如下：，此时，当，时，，为单调递增函数。 设，构造代数式： 设， 则，故单调递增，有． 因此，对于任意的，． 由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有； 令，则有 而，，在范围上为单调递增函数，所以可知 整理得：． 2.3 “度悟结合”，提升解题能力 除了注意上述两个方面的教学训练之外，还要注重把握解题教学的“度”和“悟”这两个关键环节，其中的“度”就是要引导学生把握解题训练的适度性，避免陷入题海求解训练，更重要的是要把握解题训练的精