091020修改第六章插值与逼近讲述.ppt

由H3(0)=1得:b=1, 所以 解得: a=1, b=1 . 由H3(2)=3得: 2a+b=3 H3(x)=(x-1)2(x+1) H3(x)=(x-1)2(ax+b) 于是, R3(x)=C(x)x(x-1)2(x-2) R3(x)=?(x)-H3(x) 记R3(x)=?(x)-H3(x),则R3(0)=R3(1)=R3(2)=R3?(1)=0 对于任一x?[0,2],x?0,1,2,构造函数: ?(t)=?(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2) 由于?(0)=?(1)=?(2)=??(1)=?(x)=0 , 可得: §5 三次样条插值 给定节点a=x0x1…xn=b,及其上的函数值yk=?(xk), k=0, 1,…,n.就是给出平面上n+1个点(xi,yi),i=0,1,…,n. x y o ? ? ? ? ? ? 定义6.1 给定节点a=x0x1…xn=b,及其上的函数值yk=?(xk),k=0, 1,…,n.如果函数S(x)满足 (1) S(x)是一个分段的三次多项式且S(xk)=yk; (2) S(x)?C2[a,b]. 则称S(x)是区间[a,b]上的三次样条插值函数. 算例1(P186: 14). 确定参数a,b,c,d,使函数 是一个三次样条函数, 且满足 . 解：由 故得 d=2, c=-2, b=3, a=-1. 算例2(P186: 13) 自修. S(x)在区间[xi-1,xi]上是三次多项式,S(x)=aix3+bix2 +cix+di,有4个待定系数,要确定S(x)共有4n个待定系数. S(xi)=yi ,i=0,1,…,n, 有n+1个条件; S?(xi-0)=S?(xi+0) ,i=1,2…,n-1, 有n-1个条件; S??(xi-0)=S??(xi+0) ,i=1,2…,n-1, 有n-1个条件; 共有4n-2个条件. 为了得到唯一的三次样条函数,通常可在区间[a,b]的端点x0=a ,xn=b上各加一个条件,称为边界条件.常用的边界条件有 (1) S?(x0)=y?0 , S?(xn)=y?n ; (2) S??(x0)=y??0 , S??(xn)=y??n ; (3) 假设?(x)是以b-a为周期的周期函数,这时要求 S(xi-0)=S(xi+0) ,i=1,2…,n-1, 有n-1个条件; S(x0+0)=S(xn-0) S?(x0+0)=S?(xn-0) S??(x0+0)=S??(xn-0) 这样确定的S(x)为周期样条函数. 若假设S?(xi)=mi ,i=0,1,…,n,利用分段Hermite插值多项式,当x?[xi-1,xi]时,有 其中hi=xi-xi-1 .为了确定S(x),只需确定mi ,i=0,1,…,n.可利用S??(xi-0)=S??(xi+0)来求出mi . 三转角方法 当x?[xi-1,xi]时,由于 所以 于是有 由连续性条件S??(xi-0)=S??(xi+0)可得 两侧同除以 3(?i?[xi-1,xi]+?i?[xi,xi+1])=gi,则有 ?imi-1+2mi+?imi+1=gi , i=1,2,…,n-1. (6.9) 再结合不同的边界条件,可得关于mi的方程. 若边界条件为:m0=y?0 ,mn=y?n ,带入(6.9)式可得 若边界条件为:S??(x0)=y??0 ,S??(xn)=y??n ,则有 连同(6.9)式一起,可得 若边界条件为周期性边界条件，由S?(x0+0)=S?(xn-0) ,和S??(x0+0)=S??(xn-0),有 m0=mn ?nmn-1+2mn+?nm1=gn 和 其中 于是有 对应不同的边界条件，只要求出相应的线性方程组的解，便得到三次样条函数在各区间[xi-1,xi]上的表达式. 由于三个方程组的系数矩阵都是严格对角占优矩阵,所以都有唯一解,前两个方程组均可用追赶法求解,第三个方程组可用LU分解法或Gauss消元法求解. 例7